Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = j(x, c), содержащая произвольную постоянную c и удовлетворяющая условиям:

1)  функция j(x, c) является решением дифференциального уравнения при любом фиксированном значении с;

2)  для любого начального условия y(x0) = y0 найдется такое значение постоянного с = с0, что функция j(x, с0), удовлетворяет этому начальному условию.

Определение 7. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j(x, c0), полученная из общего решения y = j(x, c)

Если общее решение дифференциального уравнения находится в неявном виде F(x, y, c) = 0, то его называют общим интегралом дифференциального уравнения. Уравнение F(x, y, c0) = 0 называют частным интегралом.

Общее решение y = j(x, c) дифференциального уравнения изображается на плоскости в виде семейства интегральных кривых , частное решение y = j(x, c0) - одна кривая этого семейства, проходящая через точку (x0, y0).

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши).  Пусть дано дифференциальное уравнение

                                                                                                    (4)

при начальном условии

y(x0) = y0                                                                                                                                                                   (5)

Пусть далее функция f(x, y) и ее частная производная непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x0, y0). Тогда существует единственное решение y = y(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (5).

Теорема 2.  Пусть функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике D = {x0 - a £ x £ x0 + a, y0 - b £ y £ y0 + b} и имеет в нем ограниченную производную  , удовлетворяющую неравенству . Тогда на отрезке s= [x0 - d, x0 + d],  где , где  существует единственное решение y = y(x) дифференциальное уравнение (4), удовлетворяющее начальным условиям (5). При этом выполняется неравенство  .  Решение y(x) - непрерывно дифференцируемо на s. Если f(x, y) имеет непрерывные частные производные по x и y порядка p, то y(x) имеет на sнепрерывные частные производные до порядка p + 1 включительно.

3.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

ДУ с разделенными переменными называется уравнение вида

P(x) dx + Q( y) dy = 0,                                                                                  (1)

где P(x), Q( y) - известные функции.  Интегрируя обе части уравнения (1) найдем общий интеграл ДУ (1).

.                                                                                         (2)

ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида

P1(x) Q1( y) dx + P2(x) Q2( y) dy = 0,                                                                         (3)

где P1(x), Q1( y), P2(x), Q2( y) - известные функции.  Разделим обе части уравнения на Q1( y)P2(x)

и интегрируем обе его части  найдем общий интеграл ДУ (1).

.                                                                                 (4)

При этом Q1( y)P2(x) = 0 дает особое решение ДУ (3).

К разделяющим уравнениям приводится решение следующих двух дифференциальных уравнений:

1)  y' = f1(x) f2(у),

2)  y' = f(ax + by +c).

При решении второго уравнения полагаем  ax + by +c = u. Тогда    и данное уравнение приводится к виду

.

4. Однородные дифференциальные уравнения.

Определение 1. Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го порядка, если f(lx, ly) = ln f(x, y). Если f(lx, ly) =  f(x, y) = l0 f(x, y), то функция f(x, y) однородной функцией 0-го порядка.

Определение 2. Дифференциальное уравнение y' = f(x, y) называется однородным уравнением, если f(x, y) - однородная функций нулевого порядка.

Полагая l = 1/x, в силу однородности функции f(x, y) получаем . Тогда ДУ перепишем в виде . Полагаем   имеем  y = ux, y' = u'x + u. Тогда дифференциальное уравнение преобразуется в ДУ с разделяющимися переменными.

Однородные ДУ иногда задаются в дифференциальной форме

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, где P(x, y), Q(x, y) - однородные функции одного порядка от переменных x, y.

Дифференциальное уравнение

можно превратить в однородное, при замене переменных  x = u + a, y = v + b, где a, b находятся из решения системы линейных уравнений

.

5.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли. Метод Лагранжа.

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

 y' +  p(x)y = q(x),                                                                                                   (1)

где p(x), q(x) - известные функции.

Метод Бернулли. Полагаем  y = u v, где u = u(x), v = v(x). Тогда y' = u' v + u v'  и уравнение (1) преобразуется к виду

u' v + u v'  +  p(x)uv = q(x), u' v + u(v'  +  p(x)v) = q(x).

Приравняем выражение в скобках к нулю и решим полученные дифференциальные уравнения

u' v  = q(x),  v'  +  p(x)v = 0, .

u' v  = q(x),

Отсюда находим общее решение уравнения (1)

.

Метод Лагранжа (метод вартации произвольных постоянных). Решим сначала однородное ДУ соответствующее ДУ (1)

.

Заменяем в полученном решении однородного уравнения постоянную с функцией  с(х) и ищем решение уравнения (1) в виде

  .

Находим производную

.

Подставляем в уравнение (1) и получим

.

6. Уравнение Бернулли.

Определение 1. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

 y' +  p(x)y = q(x)ynn Î R., n ¹0, n ¹ 1.                                                                         (1)

где p(x), q(x) - известные функции.

При n = 0 уравнение (1) - линейное первого порядка, n ¹ 1 - с разделяющимися переменными.

При n > 1 разделим обе части уравнения (1) на yn b уравнение

y' y-np(x)y-n+1 = q(x).

Полагаем y-n+1=z. Тогда получим

.

Получим линейное уравнение первого порядка

, решение которого удобно искать в виде y = u v.

7.  Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Определение 1. Дифференциальное уравнение

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0                                                                        (1)

называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения полный дифференциал от некоторой функции u(x, y), т.е.

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = d u(x, y).                                                                (2)

Тогда

Теорема 1. Для того чтобы выражение D = P(x, y) dx + Q(x, y) dy, где функции

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
165 Kb
Скачали:
0