Обзор основных характеристик векторных полей, страница 3

Направляющие косинусы вектора единичной нормали:

cos a=, cos b=, cos g=.     Вычисляем интеграл:

ydxdz + (1 + xz)dydz =[(1 + xz) cos a+ y cos b+ 0×cos g] ds=

=(1 + xz) cos a ds=(1 + z)dydz.

Проекция S на плоскость YOZ – прямоугольник, двойной интеграл легко вычисляется:

(1 +z)dydz= dz(1 +z)dy=

=3(1 +z)dz= .

5. Найти поток векторного поля   =x²+y² через внешнюю сторону поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями   x= 0,   y= 0,   z= 0,   x+y+z=1.

Решение. Так как поверхность замкнутая, то можно воспользоваться формулой Гаусса – Остроградского:

P= x²dydz+y²dxdz=(2x+ 2y)dxdydz, где T – пирамида. Вычисляем тройной интеграл:

(2x+ 2y)dxdydz= 2dxdy(x+y)dz=

= 2(x+y)(1 –x–y)dxdy= 2dx((x+y) – (x+y)²)dy=

= 2dx= 2dx=

= 2= 2.

6. Найти в точке  M(1, 2, 3)  дивергенцию и ротор векторного поля     , где  =x+y+z.

Решение. ² – скалярный квадрат вектора :  ²= (, ) =x²+y²+z². Поэтому

.

Вычислим дивергенцию, используя формулу теоремы 7:

div = ==

== .

В частности, в точке M:     div(M) =.

Вычислим rot, используя определение ротора:

rot = =

= +

+ = 0+ 0+ 0 = .

Значит, поле потенциально – ротор во всех точках равен нулю.

12.5  Упражнения для самостоятельной работы

1. Вычислить криволинейные интегралы 2 рода:

а) (x²+ 1)y²dx+dy;  G – дуга кривой y= от точки A(0, 1) до точкиB(–1, );

б) ydx+dy;     G – дуга кривой   y=e^x   от точки   A(0, 1)  до точки    B(1, e);

в) (x+z)dx+ (y–x)dy+ (z+2y)dz;    G – отрезок прямой     от точки A(– 5, 0, 1)  до точки B(1, 4, – 1).

2. Вычислить криволинейный интеграл (x–y)dx+ (2x+ 3y)dy,  если  A(1, 0), B(0, 1),   а интегрирование проводится а)    по прямой;       б) по окружности     x²+y²= 1.

3. Вычислить циркуляцию векторного поля    = (3x+ 5y)+(2x–y):

а) вдоль окружности  x= 2 cost, y= 2 sint;

б) вдоль окружности  (x– 3)² + (y+ 7)²  = 25.

4. Вычислить циркуляцию векторного поля =(3x+2y)+(5x–2y)+(3z–y²) вдоль линии пересечения поверхностей x²+y²=z², z= 2. Направление обхода – по часовой стрелке, если смотреть из начала координат.

5. Найти работу векторного поля  по перемещению точки из положения A(1, 1)  в положение B(4, 2). Зависит ли работа от траектории движения точки?

6. Найти функцию U(x,y), если известен её дифференциал:

а)   dU=;

б)   dU=.

7. Проверить, что данное векторное поле является потенциальным и найти его потенциал:

а) ;                  б) ;

в) ;  г) .

8. Вычислить поверхностный интеграл 2 рода

(2x+y)dydz+ 2zdxdz+ (4z+9x+5)dxdy, где  S¢– верхняя сторона части плоскости 3x– 2y– 2z+ 6 = 0, соответствующей значениям  x£ 0,  y³ 0,  z³ 0.

9. Вычислить поверхностный интеграл x²dydz+y²dxdz, если S¢– нижняя сторона части поверхности z=x², проекция которой на плоскость XOY есть треугольник с вершинами   (0, 0),  (1, 1),  (, 1).

10. Вычислить поверхностный интеграл

(7x+5y)dydz+ (8x–y)dxdz+ (3xy–2z–2)dxdy, если S¢– внешняя сторона замкнутой поверхности, образованной поверхностями  x²+y²= (z+ 1)²,    z=– 3.

11. Найти поток векторного поля  через нижнюю сторону нижней половины сферы    x²+y² +z² =R².

12. Найти поток векторного поля  через внешнюю сторону полной поверхности призмы, ограниченной плоскостями x= 0, y= 0, z  = 0, z = 1,x+y=1.

13. Найти поток векторного поля  через внешнюю сторону сферы  (x– 3)²+ (y+ 1)² + (z– 5)² =1.

14. Найти поток векторного поля  через внешнюю сторону части поверхности цилиндра x²+y²  =1, соответствующей значениям y³ 0, 0 £z£ 1.

15. Найти дивергенцию и ротор векторного поля в указанной точке M:

а) ,     M(2, 3, 7);

б) ,        M(– 1, 1, 3);

в) , где ;        M(1, 2, 2);

г) ;          M(x₀, y₀, z₀).

16. Вычислить ротор векторного поля =j×gradj, где j=j(x, y, z) – произвольная функция.

17. В точке M(4, 0, – 4) вычислить дивергенцию поля , где  – постоянный вектор длины 5, образующий с радиусом–вектором точки  M угол  .

12.6  Образец теста

(для дистанционной формы обучения)

1. Найти работу, совершаемую силой  по перемещению точки из положения  A(0, 0)  в положение  B(2, 8)  вдоль кривой  y=x³.

2. При каком значении параметра  a  поле  является потенциальным?

3. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону полной поверхности куба, ограниченного плоскостями    x= 0,    y= 0,    z  = 0,   x = 2,   y = 2,z=2.

4. Вычислить дивергенцию поля  в точке (1, 1, 1).

5. Найти модуль ротора поля  в точке (, 1, 5).

6. Какое из перечисленных векторных полей является соленоидальным?

1) y sin z  + x + cos z ;                     2)  y sin z  – cos y ;

3) x cos z  + sin (x + z) – sin z ;           4)  z sin y  + x sin z .