Математика \ Математический анализ

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Мера Жордана, страница 4

Теперь перейдём от прямоугольника к так называемым правильным областям. Множество точек  Е на плоскости, ограниченное кусочно–гладкой кривой, называется правильным в направлении оси OY, если любая прямая, проведённая через внутреннюю точку множества параллельно этой оси, пересекает её границу в двух точках. Из определения следует, что существуют функции   y= j1(x),   y= j2(x)   такие, что

E= {(x, y)ça£x£b,j1(x) £y£j2(x)}.

Двойной интеграл по области такого вида также можно вычислить с помощью повторного.

Теорема 6.  Если  f(x, y) непрерывна на указанной области  E,  то

Доказательство теоремы 6 мы не приводим.

Обратим внимание: внешний интеграл (тот, который вычисляется в последнюю очередь) всегда имеет постоянные пределы. Отрезок [a, b] – это проекция E на ось OX. Если область является правильной в направлении оси OX, то справедлива аналогичная формула:

.

Если область имеет более сложную структуру, то её нужно представить в виде объединения правильных областей и воспользоваться свойством аддитивности интеграла. На рисунке:

    E= E1ÈE2ÈE3,  

.

Пример 1. Вычислить    если область Е ограничена линиями  y = 2x,  y = x2 .

Решение. Сделаем чертёж. Область Е является правильной в направлении любой оси, поэтому порядок интегрирования может быть любым. Будем, например, интегрировать сначала по  y,  а потом по  x:

.

Теперь нужно расставить пределы интегрирования. Внешний интеграл (по х) имеет постоянные пределы. Находим их: проецируя  Е на ось OX, получаем отрезок  [0, 2]. Чтобы найти пределы внутреннего интеграла (по y) «прокалываем» Е в направлении 0Y лучом. Видим, что  y изменяется от параболы (на ней  y= x2)  до прямой (на ней y= 2x). После расстановки пределов интеграл легко вычисляется:

Вычисление тройных интегралов проводится по аналогичной схеме. Пусть тело Т является правильным в направлении оси OZ , т.е. прямая, проведённая через любую его внутреннюю точку параллельно OZ,  пересекает границу  Т в двух точках. Тогда 

T={(x, y, z) | (x, y)ÎTxy,  z1(x,y)£ z£ z2(x,y)}, где     Txy   –    проекция    Tна  плоскость   XOY,  z= z1(x, y),   z= z2(x, y)– уравнения поверхностей, ограничивающих  T снизу и сверху. В этом случае 

.

Подробнее: для вычисления тройного интеграла по указанной формуле необходимо:

1) найти проекцию Txy;

2) найти уравнения поверхностей, ограничивающих  Tснизу:  z= z1(x,y) и сверху z= z2(x,y);

3) вычислить внутренний интеграл, считая  x, y постоянными и применяя формулу Ньютона–Лейбница;

4) вычислить двойной интеграл от полученного выражения по плоской области Txy. Если же тело T удобнее проецировать на координатную плоскость XOZ или YOZ, то формулы (и порядок действий) аналогичны:

.

Пример 2.  Вычислить    ,   если тело  Tограничено поверхностями  y= 1, y= x, x–2y= 0, z= x2+y2.

Решение. Сделаем чертёж. Поверхности  y= 1,  y= x,  x–2y= 0 являются плоскостями, параллельными оси OZ, они образуют «вертикальные стенки» тела  T.  Плоскость  z = 0  определяет «дно» T. Сверху тело T ограничено «крышей»  –  параболоидом   вращения      z = x2+y2.

Будем проецировать T на XOY. Проекцией является треугольник Txy, изображённый на рисунке. Для определения пределов изменения Z, «прокалываем» T лучом, параллельным   OZ.   Луч  входит  через  основание  z= 0, выходит через «крышу»  z = x2+y2.   Поэтому

.

Вычисляем полученный двойной интеграл, интегрируя сначала по  x,  а затем по  y:

11.2.3 Замена переменных в кратных интегралах. Рассмотрим подробно случай двойного интеграла.  Пусть функция  f(x,y)  непрерывна на замкнутом измеримом множестве  Е.  Тогда существует      Пусть функции

x = x(u, v),    y = y(u, v)

задают взаимно–однозначное отображение множества Е¢(на плоскости изменения переменных  u, v )  на множество  Е.   Другими  словами,  каждой точке   (u, v)ÎЕ¢ взаимно–однозначно соответствует точка (x,y)ÎЕ. Пусть частные производные  непрерывны на  Е¢.

Теорема 7.  При указанных предположениях справедлива формула

, где  – якобиан замены переменных.


Схема доказательства. Рассмотрим разбиение Е¢ (на плоскости изменения переменных u, v ) прямоугольной сеткой с шагом h. Применяя отображение Е¢® Е, получим разбиение  Е  некоторыми (кусочно–гладкими) кривыми.

Скачать файл