Построение простой модели Леонтьева. Минимальные затраты труда, необходимые для производства каждого продукта

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теории рынка

Контрольная работа

По дисциплине: «Математические методы исследования экономики»

Вариант №2

Факультет: ВиЗОФБ

Группа: 001

Выполнила:

Проверил:

Новосибирск 2012

Задача 1.

Для заданной общей модели Леонтьева построить простую модель Леонтьева. Найти путь производства в единице каждого продукта. Определить минимальные затраты труда, необходимые для производства каждого продукта.

Для произвольного вектора выпуска решить двойственную задачу и определить теневые цены для каждого из продуктов.

Для варианта №2 даны следующие данные:

			G0	G1	G2	G3
		P1	0,2	0,2	0,3	0,1	производит G3
		P2	0,1	0,3	0,3	0,3	производит G2
		P3	0,2	0,3	0,2	0,3	производит G1
		P4	0,1	0,1	0,1	0,1	производит G3
		P5	0,3	0,2	0,2	0,1	производит G2
		P6	0,3	0,1	0,3	0,1	производит G1

Определим, какие технологические процессы следует включить в простую модель Леонтьева, т.е. будем минимизировать затраты труда при любом фиксированном ненулевом векторе выпуска.

Пусть хотим произвести  набор продуктов y=(25, 50, 100)

0,2х₁+0,3х₂+0,1х₃+0,3х₄+0,1х₅+0,2х₆ → min

0,7х₁+0,9х₂-0,3х₃-0,2х₄-0,1х₅-0,2х₆=25

-0,2х₁-0,3х₂+0,7х₃+0,8х₄-0,1х₅-0,3х₆=50

-0,3х₁-0,1х₂-0,3х₃-0,1х₄+0,9х₅+0,9х₆=100

х₁,х₂,х₃,х₄,х_5,х₆ ≥ 0

Далее применим поиск решения:

Далее построили простую модель Леонтьева (включили только процессы с положительными значениями интенсивности).

Найдем путь производства в единице каждого продукта:

Можно сделать вывод, что минимальными будут затраты труда, необходимые для производства единицы продукта G3.

Прямая задача выглядит так:

0,2х₁+0,1х₂+0,1х₃ → min

0,7х₁-0,3х₂-0,1х₃=25

-0,2х₁+0,7х₂-0,1х₃=50

-0,3х₁-0,3х₂+0,9х₃=100

х₁,х₂,х₃, ≥ 0

Двойственная задача выглядит следующим образом:

25р₁+50р₂+100р₃ → max

0,7p₁-0,2х₂-0,3p₃=0,2

-0,3р₁+0,7р₂-0,3р₃=0,1

-0,1р₁-0,1р₂+0,9х₃=0,1

р₁,р₂,р₃, ≥ 0

Далее применим поиск решения:

Решили двойственную задачу и определили теневые цены для каждого из продуктов.

Задача 2.

Для заданной экономической системы построить натуральную и стоимостную модели межотраслевого баланса. Вычислить матрицы прямых, полных и косвенных затрат.

Определить наиболее доходные (убыточные) отрасли с точки зрения государства и населения отрасли.

Для варианта №2 даны следующие данные:

Потребление в день:

Еда – 1, дрова – 2.

Возможное производство в день:

Еда – 16, дрова – 17, топоры – 7, бумеранги – 17.

Расход за один день деятельности:

При лесозаготовках топоров -1, на охоте бумерангов – 2.

Отдых после одного дня работы:

После охоты -0,5 , после лесозаготовок – 0,4 , после изготовлений орудий труда – 0,1.

Необходимо составить баланс на 344 дня.

Для потребления нам потребуется на весь период 344 ед.еды и 688 ед.дров.

Для производства 344 ед.еды потребуется 21,5 дней охоты, т.е. потребление в эти дни еды -21,5ед., дров – 43ед., бумерангов – 43шт., отдых – 10,75 св.дней.

Для производства 688 ед.дров потребуется 40,47 дней лесозаготовок, т.е. потребление в эти дни еды – 40,47 ед., дров -80,94 ед., топоров – 40,47 ед., отдых – 16,19 св.дней.

Для производства орудий труда нам потребуется 8,31 дней (2,53 дня для производства 43 бумерангов и 5,78 дней для производства 40,47 топоров). Понадобится 8,31 ед.еды и 16,62 ед.дров, отдыха - 0,83 св.дней.

1 тр.день=16 ед.еды=17 ед.дров = 7 топоров = 17 бумерангов , т.е.

1 ед.еды =0,063 тр.д.; 1 ед.дров =0,059 тр.д.; 1 топор =0,143 тр.д.;

1 бумеранг =0,059 тр.д.; 1 св.д. = 1ед.еды + 2 ед.дров = 0,181 тр.д.

	Натуральная модель отраслевого баланса
	Еда	Дрова	Орудия	Y	X
Еда	21,5	40,47	8,31	273,72	344
Дрова	43	80,94	16,62	547,44	688
Орудия	43	40,47	0	0	43 бум, 40,47т
Отдых	10,75	16,19	0,83	27,77
Доход	13,297	24,55	6,669	44,516
Х	344	688	43 бум, 40,47т

	Стоимостная модель отраслевого баланса
	Еда	Дрова	Орудия	Y	X
Еда	1,355	2,550	0,524	17,243	21,672		49,542
Дрова	2,537	4,775	0,981	32,299	40,592		49,542
Орудия	2,537	5,787	0,000	0,000	8,324		49,542
Отдых	1,946	2,930	0,150	5,026
Доход	13,297	24,550	6,669	44,516
Х	21,672	40,592	8,324