Для наглядного изображения магнитного поля часто рисуют магнитные силовые линии — линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением магнитной индукции (см. рис. 30). Силовые линии магнитного поля, создаваемого постоянными токами, замкнуты.
Рис. 30
4.4. Циркуляция магнитной индукции
Циркуляцией магнитной индукции В по замкнутому контуру называется интеграл
Оказывается,
что этот интеграл прямо зависит от величины суммарного тока, пронизывающего
поверхность, натянутую на контур. Если магнитное поле создается только токами,
то циркуляция равна умноженной на 
сумме токов,
пронизывающих любую поверхность, натянутую на этот контур:
Докажем это для бесконечных прямых токов. Рассмотрим сначала прямой ток и контур в виде окружности радиуса Rо (см. рис. 31), центр которой совпадает с проводом, и перпендикулярной проводу. Очевидно, что в каждой точке выбранного нами контура векторы Во и dlпараллельны, поэтому
Рис. 31
Но магнитная индукция прямого тока равна
поэтому циркуляция равна
Интеграл fdlo есть просто длина окружности 2тгRо, поэтому циркуляция вектора магнитной индукции по окружности равна
Теперь рассмотрим контур, произвольная часть которого отличается от окружности, но ток остается внутри контура (см. рис. 32).
Рис. 32
Очевидно, что длина элемента dl связана с длиной соответствующего элемента окружности соотношением
откуда
Магнитная индукция в точке А равна по модулю
и составляет угол if с вектором dl. Поэтому
Мы получили, что для любого элемента «не окружности» величина В dl равна В0 dl0 для окружности, откуда следует, что циркуляция магнитной индукции для «не окружности» такая же, как и для окружности:
Если контур 7 пронизывается не одним, а несколькими токами, то в силу принципа суперпозиции на равных правах должен учитываться каждый из этих токов. Значит, циркуляция вектора магнитной индукции должна определяться суммой токов, охватываемых контуром интегрирования:
Теорема о циркуляции магнитной индукции доказана для бесконечных прямых токов. Можно доказать, что она справедлива для токов любой формы.
4.5. Магнитное поле тороидальной катушки и соленоида
Применим теорему о циркуляции магнитной индукции к тороидальной катушке (проводу с током, намотанному на тор, см. рис. ЗЗа). Проведем окружность радиуса R, лежащую внутри тороида. Если витки катушки плотно прилегают друг к другу, магнитную индукцию во всех точках выбранной окружности можно считать одинаковой и направленной по касательной к ней. Поэтому циркуляция магнитной индукции равна в этом случае произведению модуля вектора В на длину окружности:
Но по теореме о циркуляции она равна произведению mо на сумму токов, пронизывающих поверхность, натянутую на выбранную окружность:
Рис. 33
где N — полное число витков катушки; отсюда находим магнитную индукцию внутри катушки:
Если радиус R очень большой по сравнению с радиусом витка, то любой не очень протяженный отрезок катушки является просто прямой катушкой (соленоидом, см. рис. 33б). Замечая, что
есть количество витков, приходящееся на единицу длины соленоида, получаем, что магнитная индукция внутри соленоида равна
где I — ток, текущий по проводу. Конечно, вектор В направлен по оси соленоида.
4.6. Действие магнитного поля на ток. Закон Ампера
Ток, текущий в проводнике, обусловлен движением зарядов. На каждый движущийся заряд действует сила Лоренца. Поэтому на проводник с током действует сила, равная сумме сил Лоренца, действующих на каждый заряд. Вычислим эту суммарную силу. На элемент провода dl действует сила, равная
где е — заряд каждого носителя тока,
Vcp = <v>,— средняя скорость носителей тока,
dN = nSdl — количество носителей тока в элементе провода длиной dl и сечением S,
п — концентрация носителей тока в проводнике.
Подставляя выражение для dN в формулу для силы, получаем
В круглых скобках — вектор плотности тока j, значит
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.