Робастное управление интервальными динамическими системами. Модели интервальных динамических систем, страница 3

Аналогично, интервальные числа попарно различны, если

.

Под интервальным матричным уравнением (8) будем понимать множество «точечных» уравнений (5) аналогичной структуры с вещественными коэффициентами, принимающими всевозможные значения из заданных интервалов:

Аналогично, интервальное уравнение (7) это множество «точечных» уравнений (6):

.

Определение 1.4.  Объединённым множеством решений интервального матричного уравнения Сильвестра (8) называется множество

.                                          (9)

Определение 1.5.  Объединённым множеством решений интервального уравнения (7) называется множество

.                                                         (10)

Формальная запись (9) и (10) означает, что  и  - множества всех решений точечных уравнений (5) и (6) при всевозможных значениях входящих в них коэффициентов , , , .

Внешние оценки для матриц управляемости и наблюдаемости могут быть вычислены по формулам: , .

Определение параметров робастных регуляторов основано на аппарате полной интервальной арифметики (или, по имени её создателя, интервальной арифметики Каухера). Подробное описание арифметики Каухера можно найти в оригинальной статье [19] либо в работе [20].

Доказательство теоремы 1.1.  Условия 1 - 4 теоремы 1.1 являются условиями разрешимости интервального уравнения Сильвестра, т.е. условиями существования интервальной матрицы  (9). Подставив в интервальное уравнение Сильвестра (8) матрицу , связанную выражением (7) с искомой матрицей , получим

.                                                                                          (11)

Прибавим к обеим частям уравнения (11) слагаемое . Тогда в соответствии со свойством обратного по сложению элемента оно будет эквивалентно

.

Заменяя операцию вычитания через сложение и умножение на скаляр, приходим к равенству:

.

В левой части последнего равенства вынесем сомножитель  за скобку, тогда из него в силу субдистрибутивности умножения относительно сложения следует включение

.

Умножив обе части на матрицу , получим:

.                                                                                     (12)

Включение (12) означает, что для любой матрицы  из множества матриц  найдётся подобная матрица из множества . Подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения или, что то же самое, одинаковые спектры, т.е.  при всех . Объединяя спектры всех матриц , получим, что спектр матрицы замкнутого контура для интервальной системы является подмножеством предписываемого спектра:  при всех  и . Что и требовалось доказать.

Из теоремы 1.1 и его доказательства следует, что для определения множества робастных стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих в интервальной системе (2) переходные процессы с желаемыми прямыми показателями качества, необходимо решить интервальное матричное уравнение Сильвестра (8) и найти параметры регулятора, пользуясь соотношением (7).

2. Робастная линейно-квадратичная оптимизация. Решению задач оптимизации, в условиях наличия внешних и внутренних неопределенностей, с использованием уравнений и неравенств Риккати уделяется пристальное внимание как отечественных [21, 22], так и зарубежных исследователей [23, 24]. Значительная часть работ по оптимизации в пространствах Харди при действии внешних неструктурованных возмущений [25, 26] основывается на решении двух уравнений Риккати (two Riccati approach) [27, 28].

Принципам линейно квадратичной оптимизации в условиях параметрических возмущений уделяется меньшее внимание [29, 30]. Для структурированных возмущений на основе использования модифицированной формы уравнения Риккати синтезировано управление, обеспечивающее робастную устойчивость и заданный уровень качества [31]. В работе [32] исследована зависимость функционалов качества от величины внутренних возмущений.