Спектры непрерывных и решётчатых функций. Свойства дифференциальных и разностных уравнений

Страницы работы

9 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Лекция 3 проф.

1. 5. Спектры непрерывных и решётчатых функций

На предыдущей лекции мы изучили взаимосвязи этих двух видов функций во временной области. Более того, мы сопоставили свойства дифференциальных и разностных уравнений, которые являются базой для получения математических моделей аналоговых и дискретных САУ. Теперь логично сопоставить их свойства в частотной области.

На рис. 1. 3 представлена функциональная схем некой дискретной (импульсной или цифровой) системы, где g(t) - непрерывный сигнал; ИИЭ – идеальный импульсный элемент с периодом квантования Т; НЛЧ - непрерывная линейная часть системы.

е()             e[n, 0]                        

(-)                       Т

Рис. 1. 3.

Здесь непрерывный сигнал ошибки е () квантуется ИИЭ и превращается в решётчатую функцию e[n, 0], которая сглаживается, как фильтром, непрерывной частью НЛЧ, формируя на выходе аналоговый сигнал . Следовательно, в любой подобной ДСАУ имеются один и более ИИЭ, которые преобразуют непрерывные функции времени в решётчатые. Изучим свойства таких преобразований.

В 1951г американский ученый Лайнвилл (Linwill W.K.[1]) предложил формулу преобразования Лапласа для РФ. Пусть  – изображение по Лапласу непрерывной огибающей функции, а  – изображение по Лапласу соответствующей РФ. Тогда:

,                                                                      (1.3)1)

где  - частота квантования.

Представим, что , и рассмотрим изображения единичной функции и соответствующей ей РФ по Лапласу.  - изображение единичного сигнала. Его амплитудно-фазная характеристика

_________________________________________________________________

1)Примечание 1. Есть небольшое, но практически важное уточнение выражения (1. 3.). В работе [1] предлагается использовать его в таком виде: +0,5 fT(0+), в единственном случае. Если и степень полинома A(s) только на единицу меньше степени полинома B(s). Наше суждение о достоверности формулы (1. 3.) приведено в конце текста лекции (примечание 4).

(АФХ) будет: . Соответственно,

,                                                                   (2.3.)

На рис. 2. 3 красным цветом изобразим график модуля АФХ  -  это будет спектр огибающей функции fT(t), аналогично черным цветом изображен график  - модуль АФХ решётчатой функции f[nT] - спектр дискретного сигнала.

Рис. 2. 3.

Сопоставляя эти графики, можно сделать такие важные выводы.

1. При дискретизации сигнала идеальным импульсным элементом, непрерывную функцию 2)невозможно воспроизвести (восстановить) без погрешности. Это вызвано тем, что спектр дискретного сигнала G*(w) существенно отличается от основного спектра входного непрерывного сигнала GT(w) за счет появления многочисленных "боковых" составляющих (пунктирные кривые) и их "перекрытий", т.е. взаимных наложений основного и боковых составляющих спектров.

2. Часто для уменьшения погрешности дискретизации предлагают в ДСАУ увеличить wк.. Это верно, но тогда уменьшается интервал квантования T. Однако есть предел реального времени для формирования алгоритма

_________________________________________________________________

            2)Примечание 2. Можно выбрать и любую другую непрерывную функцию, полученную в виде реакции на регулярный сигнал. Это не изменит суть изображений рис 2. 3. Например, выберем экспоненту (апериодическое звено первого порядка). Тогда


В первом случае записана реакция на "единичный скачек", а во втором - на "дельта - импульс". Но всегда

программной реализации регулятора дискретной системы или другие физические ограничения. Поэтому возможности  уменьшения  T ограничены пределом Tmin. Если же известно, что в конкретной физическоймодели, изучаемой (исследуемой  или проектируемой) САУ, нет ограничений для  выполнения условия , то такую систему следует изучать как непрерывную - аналоговую. Тогда свойства математической модели такой САУ уже не будут иметь никакого отношения к данному курсу, что было подчеркнуто во введении.

3. Многие авторы [1, 3, 6, 22 и др.] полагают возможным  спектр огибающей  ограничить частотой, , при которой модуль спектра равен нулю (см. рис 3. 3.). Тогда остается (по их мнению) бороться только с "боковыми "составляющими спектра РФ , но не с "перекрытиями", которые максимальны при частотах .

ω1

ω3

Рис. 3. 3.

Такое предложение разумно для каких то систем, предназначенных только для отработки периодических воздействий с небольшим числом близких гармоник с частотами ω1 ω3 ω5 ω7 ω11 и убывающей амплитудой. Спектр такого сигнала представляет собою линии на указанных(±) частотах, (как на рис. 3. 3). Однако трудно представить практическое назначение электромеханической системы (ЭМС), отрабатывающей такие воздействия. При любых других регулярных сигналах (см. прим.1) избежать перекрытий в спектре РФ невозможно

Итак, изменение частоты квантования или даже ограничение модуля спектра входного непрерывного сигнала не освобождает дискретное преобразование информации от погрешности, связанной с наличием боковых составляющих спектра РФ в ДСАУ.

Похожие материалы

Информация о работе