Основы математического аппарата и математические модели линейных ДСАУ. Решетчатые функции

Лекция 2 проф.

ГЛАВА 1. Основы математического аппарата и математические модели линейных ДСАУ

1.1. Решетчатые функции

Представим дискретную решётчатую функцию f[nT], как конкретную выборку из непрерывной функции f(t), определенную для всех значений аргумента на отрезке t=nT.

f[nT]=f(t)|_t=nT ,                                                                  (1.1.) где Т – период дискретизации (квантования по времени) и "n"последовательность целых чисел, например, n=-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, и т. д.

Решётчатую функцию (РФ), найденную в таком виде, также называют "размерной", поскольку ее аргумент nT имеет размерность времени.

Предложено (а чаще и удобнее) рассматривать "безразмерные" РФ вида f[n] при некоторой заданной (фиксированной) величине периода квантования Т.

f[n]=f()|_=n .                                                                     (2.1.)¹⁾

Здесь безразмерное время.

Выражение (2.1.) можно записать и иначе:

,                                                                (3.1.)

где неопределенность  раскрывается по правилу Лопиталя.

Кроме этого, при задании РФ можно выбрать величину ε=const, задающую "смещение решётки" относительно моментов времени, соответствующих целочисленным значениям (t=nТ). Таким образом, получим смещенные РФ f [n, ε]. Несмещенной же будет называться f[n, 0] при ε=0. Величина смещения может изменяться в интервале [0;1], однако для каждой конкретной смещенной РФ она постоянна.

_________________________________________________________________

¹⁾ Примечание 1. По поводу выражений (1.1.) и (2.1.). В англо - язычной литературе русский термин "решётчатая функция" переводится как "числовая последовательность"[47] или "последовательность импульсов"[1, 22]. Более строгое определение РФ дается как"… квантованный сигнал на выходе идеального импульсного элемента (ИИЭ), представляющий собой последовательность импульсов, площадь которых равна амплитуде входного сигнала квантователя  в дискретные моменты времени" [22]. Последнее определение полностью соответствует российскому [см.,например, 2, 3, 9, 48 и др.]. Тогда вместо формулы (1.1.) можно записать для РФ такое выражение:

f [nT]=f_T(t)δ(t - nT).                                                                                              (4.1.)

Последнее представление для РФ используется во всех дальнейших расчётных математически моделях ДСАУ.

f(t)=f[nT+εT]=f[(n+ε)T],                                                                 (5.1.)

где n – целое, 0≤ε<1.

Безразмерные смещенные РФ определим по формуле подобной (2.1.)

Огибающей f_Т(t) для заданных решётчатых функций f[n,0] и f[n,ε] называется непрерывная функция, совпадающая со значениями РФ в точках их существования, то есть при t=nT и t=(n+ε)T . Единственной решетчатой функции соответствует, по-видимому, бесконечное число огибающих, поскольку о значениях f_T(t) в точках между узлами решетки нам ничего не известно.

Чтобы различать несколько рассматриваемых одновременно огибающих заданной РФ, введем обозначения: f_1Т(t), f_2Т(t), f_3Т(t)...

Итак, введены 2 положения: (в ходе лекции они названы аксиомами)

1)  Всякой несмещенной или смещенной решётчатой функции соответствует бесконечное число огибающих.

2)  Всякой огибающей соответствует только одна несмещенная РФ и одна смещенная РФ для каждой заданной пары величин Т и смещения ε.

а)                                               б)                

Рис.1.1

Очевидно, что смещенные РФ используются вместе с несмещенными для уточнения огибающей.

На рис 1.1,б показано, как смещенная РФ f [n,0.5] позволяет построить огибающую f_T2 (t) более "подробно" (точнее), чем f_T1 (t) (см. рис.1.1,а)²⁾. Безусловно, и в этом случае остается "произвол" в выборе огибающей, однако он уже имеет "более высокочастотный характер. Кроме того, если, например, функции f (t) имеет ограничение производной |f '(t)|≤М, то более частая решётка уменьшает возможный размах огибающей внутри тактов квантования.

_________________________________________________________________

²⁾ Примечание 2. Казалось бы, что на практике наиболее целесообразно использовать выборки смещенных функций со значением ε=0.5, поскольку умножитель частоты на два реализовать проще, чем какие-либо другие умножители. Это справедливо! Но подчеркнем ещё раз, что выборка смещенных функций производится только в расчётной математической (а не реальной физической) модели ДСАУ с выхода фиктивного ИИЭ. Поэтому основной причиной выбора смещения ε=0.5 является ожидание наибольших отклонений f [(n+0,5)T] от f [nT].

1.2. Разности решётчатых функций

Разности РФ являются в дискретной математике³⁾ аналогом производных.

Неразделённые разности 1-го порядка представляют собою разности  безразмерных значений РФ с равным смещением ε в двух соседних интервалах квантования: