Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы. Состояние системы в любой момент времени

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

этом знаменатель передаточной функции  будет преобразован к виду:  .                                                                                                                (3)

В зависимости от соотношения  корни характеристического уравнения передаточной функции могут быть комплексными, вещественными, правыми, левыми… Следовательно,  кривая  есть граница, отделяющая  комплексные корни от вещественных. Изобразим эту границу:

Тогда выделяются следующие области:

Область , в которой .

Область  , в которой .

Область  , в которой .

Область , в которой .

Область , в которой .

В каждой из этих областей будет свое движение системы

Дифференциальное уравнение второго порядка (1) соответствует системе уравнений первого порядка вида:

И для этой систему уравнение фазовой траектории будет иметь вид:

    или    .                                  (4)                                                                             

Изучим влияние  и  на решение дифференциального уравнения.

Система без вязкого трения

Рассмотрим случай системы без вязкого трения, когда  . Уравнение траектории (4) будет приведено к виду       ,                                                                                                                  (5)

а дифференциальное уравнение (1) также преобразуется:

  или   .

Изоклины (линии равных углов наклона касательных к фазовой траектории  будут определены уравнением  или . При  угол наклона касательных к траектории составляет , а при   угол равен   (фазовая траектория пересекает оси OX и OY под прямым углом).

Решением уравнения (5) будет эллипс  , где константа С определяется начальными значениями   и :   .

При этом решение исходной системы при  будет иметь вид:  .

Движение автономной системы при 0<ξ<+1

Корни характеристического уравнения при таких параметрах будут комплексными с отрицательной вещественной частью. Движение  будет колебательным и затухающим.

Уравнение изоклины в этом случае имеет вид:

   , откуда .

Полагая , получим      - уравнение изоклины, где касательные к фазовой траектории являются параллельными оси абсцисс.

Уравнение движения системы является колебательным с затуханием:  

,  .

Фазовая траектория имеет вид спирали, закручивающейся по часовой стрелке в начало координат – это состояние покоя (устойчивого равновесия).

Движение автономной системы при 0>ξ>-1

В этом случае все выкладки аналогичны предыдущим.

Уравнение прямой  будет иметь тот же вид:  , но сама прямая располагается в I и III квадрантах.  Фазовая траектория также имеет вид спирали, но спирали раскручивающейся от 0 до .  Движение системы носит колебательный характер, расходящееся (неустойчивое).

Так как движение расходящееся, то центр

(.) – неустойчивый фокус.

Движение автономной системы при ξ>+1

Корни характеристического уравнения  являются отрицательными вещественными:  . Движение системы – асимптотически устойчиво и определяется соответствующими экспонентами:

   .

Изоклины фазовой траектории, как и ранее, имеют вид . В дополнение к ним появляется еще одна изоклина, соответствующая конечному  движению системы.  При этом выполняется  (так как  убывает быстрее, чем  ), причем .  То есть

Тогда из общего уравнения изоклины   с учетом   получаем:   квадратное уравнение, аналогичное характеристическому уравнению системы.  Изоклины, соответствующие , расположены во II и IV квадрантах фазовой плоскости.


       Движение автономной системы при ξ<-1

Решение системы в этом случае  будет неустойчивым, так как корни характеристического уравнения – положительные.  Появляются предельные изоклины, соответствующие начальному времени процесса .

Точка (.) – неустойчивый узел.

Движение автономной системы при ω²<0

Рассмотрим область . Дифференциальное уравнение, соответствующее этой области, имеет вид: .

Корни его характеристического уравнения будут вещественными, но разных знаков:  и . Движения системы – неустойчивы. Корни  и  на фазовой плоскости определяют две изоклины, соответствующие начальным  и конечным  состояниям системы.

Фазовая траектория  имеет форму гиперболы. Фазовый портрет – седло.

Точка (.) – точка неустойчивого равновесия.

Расчет переходных процессов по фазовой траектории

Рассмотрим некоторую фазовую траекторию. Пусть начальная точка на ней:    и  некоторое . Возьмем небольшое приращение х, то есть ∆х. Вообразим, что  ∆х  задано как .  Тогда  - это скорость. 

Полагая, что , получаем    . Таким образом определили  на первом участке. Далее вычислим  на следующем участке, и так далее.

Линии переключения на фазовой плоскости

Если правая часть дифференциального уравнения не дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки могут сливаться в целые линии – линии переключения, и по разные стороны от них нелинейный элемент НЭ системы переключается в разные состояния.

Рассмотрим нелинейную следящую систему с гистерезисом:

Свободные движения этой системы (при g(t)=0) описываются нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка:

, которое преобразуется к системе двух уравнений первого порядка:

Уравнение фазовой траектории для этой системы будет иметь вид:

.

Основная идея: там, где нелинейный элемент находится в одном из своих устойчивых состояний, дифференциальное уравнение сильно упрощается  и его решают отдельно в каждой из этих областей и на границе линии переключения.

1) Область N1:  F(x) = –1   при условии:   .  

Система уравнений упрощается:  ;      уравнение фазовых траекторий:  , решение которого имеет вид:   .

В соответствии с этим уравнением строится фазовая траектория системы:

Похожие материалы

Информация о работе