Классический анализ переходных процессов в RL-цепях первого порядка. Дифференциальное уравнение для тока катушки

Страницы работы

7 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Классический анализ переходных процессов в RL-цепях

первого порядка

Задача 6.8

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Определите выражение установившегося напряжения u4(t) резистора R4 в схеме цепи Рис. 6.1 и постройте его график, если

, (Рис. 6.2); Uo = 30 В, T = 200 мкс, R1 = 135 Ом, L2 = 10 мГн, R3 = 10 Ом, R4 = 270 Ом.

 

Решение.

Решим эту задачу временным методом.

Очевидно, напряжения и токи всех элементов цепи представляются также периодическими функциями времени t с периодом T. Выберем относительное локальное время t¢, начало отсчёта которого (t¢ = 0) совпадает с началом действия очередного импульса периодического напряжения uo(t) (uo(0) = 0).

a)

b)

Рис. 6.3

Составим дифференциальное уравнение для тока катушки i2(t¢) – переменной состояния цепи (Рис. 6.3, a). Считая известным его мгновенное значение и опираясь на принцип компенсации *, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени 0 £ t¢ £ T. Для схемы цепи Рис. 6.3, a в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис. 6.3, b. Из этой схемы находим выражение напряжения катушки u2(t¢):

.

Обратите внимание на то, что множитель при i2 представляет собой взятое со знаком минус выражение сопротивления пассивного двухполюсника (“освобождённого” от источника напряжения) относительно полюсов катушки.

Сокращая последнее выражение на L4, получаем искомое уравнение состояния записанное в нормальной форме (форме Коши):

, где                с-1;

 См/с.

Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между “начальнымi2(0–) и “стартовымиi2(0+) значениями тока катушки

i2(0+) = i2(0–) .

С учётом условия периодичности и непрерывности выражения установившегося тока катушки i2(t) находим условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений тока катушки i2(t¢) на интервале [0, T] относительного времени t¢

i2(0+) = i2(T–).

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния (независимой переменной) цепи i2(t¢) при 0 £ t¢ £ T – тока катушки L2, а затем для тех же моментов времени t¢ найдём выражение искомой зависимой переменной – напряжения u4(t) резистора R4.

I этап. При 0 £ t¢ £ T ток катушки представим суммой двух составляющих

, где  – принуждённая составляющая тока катушки;  – его свободная составляющая.

Выражение принуждённой составляющей тока катушки ищем в виде

.

Подставляя его в уравнение переменной состояния цепи, получаем уравнение

приводящее к системе линейных алгебраических уравнений для определения постоянных A и B:

 ,

.

Отсюда находим A = – 0.1 А, B = 103 А/c . Таким образом

Для составления выражения свободной составляющей тока катушки получим сначала характеристическое уравнение и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

, единственный корень которого равен

 с-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t рассматриваемой цепи равно

 мкс.

При единственном корне характеристического уравнения

 А.

В соответствии с принятым представлением при 0 £ t¢ £ T ток катушки

.

Используя приведённое выше условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений тока катушки i2(t¢) на интервале [0, T], приходим к уравнению

, имеющему следующее решение

 А.

Следовательно, ток катушки i2(t¢) в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T представляется выражением:

 А.

Проверка:                        i2(0+) = i2(T–) = 0.131 А

II этап. Выражение напряжения u4(t) резистора R4 в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T получим по её  схеме замещения (Рис. 6.3, b), в которой на основании принципа компенсации катушка заменена источником найденного тока i2(t):

 В

Зависимость u4(t¢) на интервале 0 £ t £ 200 мкс с шагом 20 мкс представлена таблицей; Рис. 6.4 отображает её на интервале 0 £ t¢ £ 200 мкс.

Таблица

t¢, мкс

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

u4(t¢), В

11.8

11.8

12.5

13.8

15.5

17.6

20.1

22.7

25.6

28.6

31.8

Проверка:

 В.

Рис. 6.4

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

, в котором

a = – 10×103 с-1, b = 66.67 См/с.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи при 0 £ t¢ £ T найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для определения стартового значения переменной состояния i2(0+) применим следующий итерационныё алгоритм. Положим сначала i2(0+) = 0 и с помощью функции rkfixed найдём

Похожие материалы

Информация о работе