Классический анализ переходных процессов в RL-цепях первого порядка. Дифференциальное уравнение для тока катушки

Классический анализ переходных процессов в RL-цепях

первого порядка

Задача 6.8

Рис. 6.1	Рис. 6.2	Определите выражение установившегося напряжения u4(t) резистора R4 в схеме цепи Рис. 6.1 и постройте его график, если
, (Рис. 6.2); Uo = 30 В, T = 200 мкс, R1 = 135 Ом, L2 = 10 мГн, R3 = 10 Ом, R4 = 270 Ом.

Решение.

Решим эту задачу временным методом.

Очевидно, напряжения и токи всех элементов цепи представляются также периодическими функциями времени t с периодом T. Выберем относительное локальное время t¢, начало отсчёта которого (t¢ = 0) совпадает с началом действия очередного импульса периодического напряжения u_o(t) (u_o(0) = 0).

a)	b)
Рис. 6.3

Составим дифференциальное уравнение для тока катушки i₂(t¢) – переменной состояния цепи (Рис. 6.3, a). Считая известным его мгновенное значение и опираясь на принцип компенсации *, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени 0 £ t¢ £ T. Для схемы цепи Рис. 6.3, a в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис. 6.3, b. Из этой схемы находим выражение напряжения катушки u₂(t¢):

.

Обратите внимание на то, что множитель при i₂ представляет собой взятое со знаком минус выражение сопротивления пассивного двухполюсника (“освобождённого” от источника напряжения) относительно полюсов катушки.

Сокращая последнее выражение на L₄, получаем искомое уравнение состояния записанное в нормальной форме (форме Коши):

, где                с^-1;

 См/с.

Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между “начальным” i₂(0–) и “стартовыми” i₂(0+) значениями тока катушки

i₂(0+) = i₂(0–) .

С учётом условия периодичности и непрерывности выражения установившегося тока катушки i₂(t) находим условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений тока катушки i₂(t¢) на интервале [0, T] относительного времени t¢

i₂(0+) = i₂(T–).

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния (независимой переменной) цепи i₂(t¢) при 0 £ t¢ £ T – тока катушки L₂, а затем для тех же моментов времени t¢ найдём выражение искомой зависимой переменной – напряжения u₄(t) резистора R₄.

I этап. При 0 £ t¢ £ T ток катушки представим суммой двух составляющих

, где  – принуждённая составляющая тока катушки;  – его свободная составляющая.

Выражение принуждённой составляющей тока катушки ищем в виде

.

Подставляя его в уравнение переменной состояния цепи, получаем уравнение

приводящее к системе линейных алгебраических уравнений для определения постоянных A и B:

 ,

.

Отсюда находим A = – 0.1 А, B = 10³ А/c . Таким образом

Для составления выражения свободной составляющей тока катушки получим сначала характеристическое уравнение и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

, единственный корень которого равен

 с^-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t рассматриваемой цепи равно

 мкс.

При единственном корне характеристического уравнения

 А.

В соответствии с принятым представлением при 0 £ t¢ £ T ток катушки

.

Используя приведённое выше условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений тока катушки i₂(t¢) на интервале [0, T], приходим к уравнению

, имеющему следующее решение

 А.

Следовательно, ток катушки i₂(t¢) в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T представляется выражением:

 А.

Проверка:                        i₂(0+) = i₂(T–) = 0.131 А

II этап. Выражение напряжения u₄(t) резистора R₄ в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T получим по её  схеме замещения (Рис. 6.3, b), в которой на основании принципа компенсации катушка заменена источником найденного тока i₂(t):

 В

Зависимость u₄(t¢) на интервале 0 £ t £ 200 мкс с шагом 20 мкс представлена таблицей; Рис. 6.4 отображает её на интервале 0 £ t¢ £ 200 мкс.

Таблица

t¢, мкс	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
u4(t¢), В	11.8	11.8	12.5	13.8	15.5	17.6	20.1	22.7	25.6	28.6	31.8

Проверка:

 В.

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

, в котором

a = – 10×10³ с^-1, b = 66.67 См/с.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи при 0 £ t¢ £ T найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для определения стартового значения переменной состояния i₂(0+) применим следующий итерационныё алгоритм. Положим сначала i₂(0+) = 0 и с помощью функции rkfixed найдём