Основы теории двухполюсников. Классификация двухполюсников. Понятие входной функции реактивных двухполюсников, страница 2

Тогда очевидно, что , где  – номинальное сопротивление.

Условие дуальности реактивных двухполюсников можно записать в виде:.

Двухполюсник, состоящий из последовательно или параллельно соединенных однородных элементов (индуктивностей или емкостей), относится к числу одноэлементных двухполюсников, т.к. последовательно или параллельно соединённые однородные элементы могут быть заменены одним эквивалентным реактивным элементом того же характера. В результате получается так называемый приведенный двухполюсник.

Двухэлементный реактивный двухполюсник получается в результате последовательного или параллельного соединения индуктивности и ёмкости.

Определим комплексные сопротивления данных двухполюсников.

, где .

, где .

Определим соответствующие операторные сопротивления, осуществляя замену .

, .

Приведённые реактивные двухполюсники представляют собой идеальные колебательные контура (последовательный и параллельный соответственно). Из курса ОТЦ Часть I известно, что в последовательном колебательном контуре наблюдается резонанс напряжений, а в параллельном колебательном контуре – резонанс токов. Следовательно:

 – частота резонанса напряжений,  – частота резонанса токов.

В дальнейшем частоты резонанса напряжений будем обозначать нечетными индексами: , а частоты резонанса токов четными: .

Представим частотные характеристики двухэлементных реактивных двухполюсников.

По первой частотной характеристике видно, что на частоте  и  реактивное сопротивление равно бесконечности. По второй – на частоте  и  реактивное сопротивление равно нулю. В связи с этим реактивные двухполюсники удобно подразделять на 4 класса: .

Так, например, идеальный последовательный контур имеет класс . Параллельный контур имеет класс . Как определить класс реактивного двухполюсника другими способами? Для этого достаточно определить входное операторное сопротивление на двух граничных частотах:  и . Действительно, сопротивление последовательного колебательного контура:

, .

Можно определить класс реактивного двухполюсника непосредственно по схеме. Для этого составляют схемы замещения на частотах  и . Далее определяют, имеется ли путь постоянному току или нет. Если ток проходит через двухполюсник, то его сопротивление равно 0, если нет, то .

Многоэлементные реактивные двухполюсники

К многоэлементным реактивным двухполюсникам относят: трехэлементные, четырехэлементные и т.д. реактивные двухполюсники. В качестве примера рассмотрим схему трехэлементного реактивного двухполюсника и определим его входное операторное сопротивление .

 – входное операторное сопротивление.

Преобразуем последнее выражение к так называемому каноническому виду:

,

.

Введем обозначения:

 – частота резонанса напряжений,  – частота резонанса токов.

Тогда входное операторное сопротивление запишем как:

, где .

Построим частотную характеристику данного реактивного двухполюсника.

 

По данному рисунку можно сформулировать основные свойства входной функции РД.

1.  Входная функция реактивных двухполюсников возрастает с ростом частоты;

2.  Наблюдается чередование частот резонансов тока и напряжения, тем самым образуется так называемая диаграмма нулей и полюсов;

3.  Число элементов двухполюсника превышает число резонансных частот на единицу;

4.  Наибольшие и наименьшие степени полиномов числителя и знаменателя входной функции реактивного двухполюсника не могут отличаться более чем на единицу;

5.  Наибольшая степень полинома числителя или знаменателя определяет количество элементов;

6.  Если в выражении для входной функции множитель p располагается в числителе, то первым наступает резонанс тока, если множитель p располагается в знаменателе – резонанс напряжений.

Функция, обладающая такими свойствами, называется реактивной.

Построим эквивалентный реактивный двухполюсник, обладающий такой же частотной зависимостью, таким же классом . Вид такого эквивалентного двухполюсника изображен на рисунке.

 

Определим операторное входное сопротивление эквивалентного реактивного двухполюсника.

, , , .

Соответствующую частотную характеристику можно представить в виде:

 

Необходимо установить связь между  и . Для этого используем условия эквивалентности реактивных двухполюсников . Таким образом, получаем эквивалентные уравнения:

, , .

Задача для самостоятельного решения

Определить класс и построить эквивалентный реактивный двухполюсник. Из условия эквивалентности установить связь между параметрами двухполюсников. Привести график частотной зависимости входного сопротивления двухполюсников.

 

Контрольные вопросы

1.  Что называется двухполюсником?

2.  Как классифицируются двухполюсники?

3.  Какие двухполюсники являются эквивалентными?

4.  Какие двухполюсники являются реактивными?

5.  Какова причина проявления частотных свойств двухполюсников?

6.  Что собой представляет входная функция реактивных двухполюсников?

7.  Что Вы понимаете под условием физической реализуемости?

8.  Что такое положительная вещественная функция?

9.  Какие основные свойства положительной вещественной функции Вы знаете?

10.  Как определить вычет функции по полюсу первого порядка?

11.  Какие реактивные двухполюсники являются дуальными?

12.  Что собой представляет приведённый двухполюсник?

13.  Как определить класс реактивного двухполюсника по схеме?

14.  Как определить класс реактивного двухполюсника по виду операторного сопротивления?

15.  Как определить класс реактивного двухполюсника по частотной характеристике реактивного сопротивления?

16.  Какие основные свойства входной функции реактивных двухполюсников Вы знаете?

17.  Какая входная функция называется реактивной?