Колебания в кулачковых механизмах с упругим толкателем. Многомассовые колебательные системы при одномерном возбуждении

8.9. Колебания  в  кулачковых  механизмах  с  упругим  толкателем

Для исследования колебаний в кулачковых механизмах с упругим толкателем (выходным звеном) достаточно рассмотреть одномассовую динамическую модель (рис. 8.17), так как жесткость кулачкового вала обычно много больше жесткости толкателя. Рассматривать будем механизм с силовым замыканием. Угловую скорость кулачка w будем считать постоянной. Тогда динамика механизма определяется дифференциальным уравнением движения массы толкателя, которую можно привести к одной точке – верхнему концу толкателя. Действие сил упругости толкателя представим пружиной, помещенной между массой m и кулачком. На массу m действует внешняя сила F, сила поджимающей пружины F_П и сила трения F_Т, которую примем пропорциональной скорости верхнего конца толкателя. Нижний конец толкателя движется в контакте с кулачком, т.е. перемещение нижнего конца толкателя s, отсчитываемое от нижнего крайнего положения, определяется профилем кулачка. Перемещение верхнего конца толкателя x  вследствие упругости толкателя отличается от перемещения  s.

Сила поджимающей пружины зависит от конструкции. Если место ее крепления расположено ближе к верхнему краю толкателя, то

F_П = F_О + C_Пx

где  F_О – усилие предварительного поджатия,

C_П  – коэффициент жесткости поджимающей пружины.

Но чаще пружина крепится ближе к нижнему краю толкателя, тогда

F_П = F_О + C_Пs

Дифференциальное  уравнение  движения  массы  m :

m + h + С (x – s) = F + F_П + C_П  s                                       ( 8.24 )

где  С – коэффициент жесткости толкателя,  h – коэффициент демпфирования.

В общем случае уравнение ( 8.24 ) аналитического решения не имеет, так как функция s(j), определяемая профилем кулачка может иметь весьма сложный вид и характер внешней нагрузки F может зависеть от различных параметров и быть тоже функцией любой сложности. Но численное решение этого уравнения дает искомый результат.

8.10. Колебания  в  механизмах  с  упругой  муфтой

На рис. 8.18а показана одна из конструкций упругой муфты, в которой полумуфты 1 и 2 соединены упругими элементами 3, допускающими относительное угловое смещение полумуфт.

При малых колебаниях в первом приближении характеристику сил упругости в муфте можно считать линейной:

                                   M_C = C j,                                                        ( 8.25 )

где M_C  – момент сил упругости, С – коэффициент жесткости, j – угловое смещение полумуфт.

Если упругий элемент 3 имеет нелинейную характеристику, то при достаточно больших углах j применение линейной зависимости ( 8.25 ) может привести к существенным погрешностям в расчетах. Поскольку в таких конструкциях зазоры как правило отсутствуют, а  нелинейные жесткостные характеристики упругих элементов представляют собой достаточно гладкие функции, то их можно аппроксимировать полиномами:

                            C(j) = C_O + C₁ j + C₂ j² +  . . .                                ( 8.26 )

Тогда момент сил  упругости в муфте:

                                   M_C = C(j) j.                                                      ( 8.27 )

Рассеяние энергии будем считать пропорциональным скорости деформации. При малых колебаниях момент диссипативных сил М_h можно считать:

                                   M_h = h ,                                                           ( 8.28 )

где  h – коэффициент демпфирования,

j – угловая  скорость  смещения  полумуфт.

При больших скоростях для нелинейных упругих элементов в некоторых случаях и демпфирующую характеристику представляют в виде полинома по степеням скорости деформации:   

                            h() = h_O + h₁  + h₂ ² +  . . .                             ( 8.29 )

Тогда момент диссипативных сил в муфте:

                                                    M_h = h().                                            ( 8.30 )

Составим уравнение движения. На рис. 8.18б показана динамическая модель механизма, в котором вал двигателя Д соединен через упругую муфту с валом рабочей машины М. Углы поворота вала двигателя и вала машины обозначены соответственно через j_Д и j_М. Приведенный к валу рабочей машины момент инерции подвижных частей двигателя J_Д как правило постоянен. Приведенный момент инерции J_М в общем случае может быть переменным и представлять собой функцию положения J_М = f(j_М).

Так как каждое упругое звено увеличивает общее число степеней свободы на единицу, то число степеней свободы данной системы равно двум.