Упрощение и преобразование структурной схемы т.о для получения передаточной функции замкнутой и разомкнутой системы

Дано:

 

     

1.  Упростим и преобразуем структурную схему т.о., чтобы получить передаточную функцию замкнутой и разомкнутой системы.

 

                                                                                   

2.  Определим устойчивость системы по критерию Ляпунова.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы действительные части корней характеристического уравнения замкнутой системы были меньше нуля.

Отобразим полученные корни на комплексной плоскости

Вывод: по критерию Ляпунова данная система является устойчивой.

3.    Определим устойчивость системы по критерию Найквиста.

Для построения годографа Найквиста в характеристическом полиноме замкнутой системы р заменяем на . Выделим действительную и мнимую часть и построим их зависимость.

Вывод: годограф Найквиста, построенный для замкнутой системы, не охватывает начала координат, т.е. на отрезке от - ∞ до –1 по действительной оси годограф не имеет пересечений с данной осью, следовательно, при устойчивой разомкнутой системе, замкнутая система устойчива.

4.  Определим область наибольшей устойчивости с помощью Д - разбиения.

Для построения области, подозрительной на устойчивость, необходимо в характеристическом уравнении выразить коэффициент , выражение с другой стороны от знака «=» приравнять к 0,  р заменить на  и выделить действительную и мнимую часть.

Для определения области наибольшей устойчивости выделяются участки слева направо, выбираются к - корней с отрицательной действительной частью, а затем определяется количество таких корней в других областях, при этом при переходе от заштрихованной к не заштрихованной области к увеличивается, от не заштрихованной к заштрихованной к уменьшается.

Для проверки выбирается некоторое действительное число из этой области, подставляется вместо  и устойчивость определяется по любому из известных методов для данного характеристического уравнения. Возьмем метод Ляпунова из области I

следовательно в области I к=1 , возьмем   из области II

следовательно в области II к=2

По методу Ляпунова замкнутая система устойчива, следовательно область II - область с наибольшей устойчивостью.

5.  Определим показатели качества системы.

Прямые оценки качества:

h_уст(t)=2.2 – установившееся состояние системы 

h_уст(t)=2.2∙5%=0.11 – значение 5%-ой трубы  

t₁=0.21 – время первого согласования

t_H=0.21 – время нарастания

t_P=0.17 – время регулирования

σ=0 – перерегулирование

6.  Косвенные оценки качества: