Предел переменной величины. Бесконечно малые и бесконечено большие величины, связь между ними

2 Предел переменной величины. Бесконечно малые и бесконечено большие величины, связь между ними.

Предел переменной величины в некой точке численно равен этой точке. limx(xàa) = a

Функция называется бесконечно малой в точке где xàа если уà0. limf(x)_(xàa) = 0

Функция называется бесконечно большой в точке где xàа если уà0. limf(x)_(xàa) = <><>

Связь между величинами:

Если у=Ф(х) – бесконечно малая, то 1/ф(х) – бесконечно больная

3 Бесконечно малые, их основные свойства.

Сумма конечного числа бесконечно малых величин величина бесконечно малая.

Произведение конечной функции и бесконечно малой величины – величина бесконечно малая.

Функция в точке а имеет конечный предел тогда и только тогда, когда f(x) = A + U(x), где U(x) – бесконечно малая величина.. Подругому это можно записать как f(x) – A à 0

Сравнение бесконечно малых функций:

Если предел отношения одной б.м. к другой б.м. равен нолю, то та б.м., которая стояла в числителе белее высокого порядка. Если же этот предел равен бесконечности, то наоборот.

А если предел их отношения равен определнному числу, то значит эти б.м. одного порядка.

Если предел равен 1, то эти две б.м. эквивалентны.

Теорема 1: произведение бесконечно малых – бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м  если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b.

2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.

4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).

Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.

4 Предел функции. Основные теоремы о пределах.

Определение предела: пусть ф(х) – функция определенная на множестве Х, и а – пределньная точка этого множества. Число А называется пределом функции при х à а тогда и только тогда, когда для любого е существует окрестность точки а, что |ф(х) – а|  < |е|

Подругому это записывается как f(x) à A при x à a

Теорема 1: Если каждое слагаемое алгераической суммы конечного числа функций имеет предел при х стремящимся к а, то предел этой алгебраической суммы при х стем. к а существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.

Доказательство: представляем функцию как сумму ее предела и бесконечно малой, складываем функции, и бесконечно малые. Получается, что сумма функций отличается от суммы пределов на бесконечно малую, значит это и есть предел.

Следствие: Функция может иметь только один предел при х стем. к а. Доказывается от противного. Получается, что разность исходных функций стремиться к разности их пределов, то есть ноль тремится к разность пределов, а т.к. предел постоянной функции равен самой функции и единствен, то отсюда получаем, что разность предело равно 0, то есть пределы однинаковы.

Теорема 2: Если каждый из сомножителей произведения конечнеого числа функций имеет предел при х à а, то предел произведения при х стем к а равен произведению пределов сомножителей.

Докозательство: Рассматривается произведение двух сомножителей