Линейные операции над матрицами. Сложение (вычитание) матриц. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Страницы работы

Фрагмент текста работы

принадлежащей ее области определения равен значению данной ф-ии в рассматриваемой точке

limf(x)- f(a).

х→а

Теорема: если предел f(U)=А   limU(x)=U0,

U→U0     U→х0

то предел сложной ф-ии

lim f(U(x))= lim f(U)=A

х→а              U→U0

Пример:   Найти lim (x3+3x2+2)= lim x3+lim3x3+lim2=

х-2                      х-2       х-2       х-2

lim x3+3lim x2+2= 22+3×22+2=22

Пример2:  lim(7-2x)×(3+5x2)=(7-2×2)×(3+5×22)=69

Первый замечательный предел:

Если ∟U выражен в радианах, то lim= sinU÷U=1,

U→0                   

lim U÷sinU=1

U→0

Пример:  lim sin5x÷x=lim 5sin5x÷5x=5

Второй замечательный предел:

lim(1+1 ∕U)U= lim(1+λ)1∕ λ=e

U→ ∞              λ→0

Пример: 

45  Непрерывность ф-ии одной переменной.

Определение1:   Ф-ия f(x) называется непрерывной в т.х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Определена в точке х0, т.е. существует f0)

Имеет конечный предел ф-ии при х→х0

Этот предел равен значению ф-ии в т. х0, т.е. limf(x)= f(x0)

Пример:  1)Исследовать непрерывность в т. х=0 в следующих ф-ях.

у=1∕х В точке х=0-- ф-ия не является непрерывной, т.к. нарушено условие 1 определения. 

у={х+1, х≥0     1) Первое условие определения выполняется

    {х-1, х<0      2) Второе условие не выполняется, т.к. в т.х=0 существует только односторонние пределы.

limf(x)=-1         limf(x)=1  Общего предела не сущ.

x→0ˉ                     x→0+

2.{х2, при х≠0      1) f(0)=1

{1, при х≠0        2) В этой точке должен быть предел. limf(x)= limx                                                                                       x→0 -          x→0+

lim f(x)=limx2=0           lim f(x)=limx2=0

x→0+     x→0+               x→0 -        x→0+     Т.е предел в этой точке существует.

3)Третьене выполняется, т.к. f(0)=1    limf(x)=0    limf(x)≠ f(0)                                                  x→0           

3)  у=х2

Все условия определения выполняются =>данная ф-ии непрерывна в т. х=0. Непрерывность ф-ии в данной точке выражается непрерывностью ее графиков при прохождении данной точки.

Рассмотрим еще одно определение непрерывности, дадим аргументу х0 приращение Δх. Тогда ф-ия  у=f(x) получит приращение Δу=f(x0x)-f(x0).

Определение2: Ф-ия  y=f(x) называется непрерывной в т. х0, если она определена в этой точке и бесконечно большому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ии:  limΔy=0

Δx→0

№46  Св-ва ф-ии одной переменной, непрерывных в точке. Теорема о непрерывности элементарной ф-ии.

Теорема 1:  Если ф-ия f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то  f(x)+g(x),  f(x)×g(x),  f(x) ∕g(x) (при f(x)≠0)  так же будут непрерывны в т. х0.

Теорема 2:  Если ф-ия y=f(x) непрерывна в т.х0 и f(x)>0, то существует такая окресность в т.х0 в которой f(x)=0

Теорема 3:  Если ф-ия y=f(u) непрерывна в т.u0, а ф-ия u=f(x) непрерывна в т. u0=g(x0), то сложная ф-ия непрерывна в т. х0        y-f [g(x)]

Определение:  ф-ия  y=f(x) называется непрерывной на промежутке х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

№47  Точки разрыва ф-ии одной переменной. Их классификация.

Определение1: Точка х0 называется точкой разрыва ф-ии  f(x), если эта ф-ия в данной точке не является непрерывной.

Определение2: Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют односторонние пределы ф-ии слева и справа не равные друг другу.

Определение3: Точка х0 называется точкой разрыва второго порядка, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

№48  Числовая последовательность: определение, примеры, предел числовой последовательности, св-ва сходящихся последовательностей.

Числовая последовательность. Пусть N— множество натуральных чисел. Если каждому натуральномучислу n поставлено в соответствие некоторое число хnто говорят, чтоопределена числовая последовательность х12,..., хп , … . Числа хn, п єN называют элементами или членами последовательности.

Последовательности n+yn}, {xn-yn}, {xnyn},{xnyn}называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn}.

Последовательность {xn}называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого п є Nвыполняется неравенство |xn|≤М.

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n є N выполняется неравенство |xn|>M

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела - расходящейся.

Пример сходящейся последовательности:    

Бесконечно малая последовательность {xn}, а=0. Если последовательность {xn} есть бесконечно большая последовательность, то пишут limxn=∞

n→∞

Св-ва сходящихся последовательностей:

1.Для того, чтобы последовательность {xn} имела своим пределом число а , необходимо и достаточно, что бы последовательность {xn-a} была бесконечно малой.

2.Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4.Пусть limxn=a и limyn=b, тогда  а)lim(xn±yn)=a±b   б)  limxnyn=ab   в)limxn yn=abвезде n-∞

№49   Производная ф-ии одной переменной в точке: определение, геометрический, физический, экономический смыслы. Построение ф-ии производной от данной ф-ии одной переменной.

Производной функции у = f(х) в точке х = а называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

f΄(a)= lim f(a+Δx)-f(a) ∕Δx

Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Геометрический смысл производной.

Итак, геометрический смысл производной функции состоит в том, что производная функции у=f(х) в точке x= х0 есть тангенс угла наклона касательной к ее графику в точке   0 ;f(x0 )). Другими словами,f΄0) есть угловой коэффициент касательной к графику функции к точке М(х0; у0). Поэтому уравнение касательной имеет вид:

y-y0=f ' (х0) (х-х0 ). Прямая, проходящая через точку 0; f0)) и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику в этой точке. Учитывая условие перпендикулярности двух прямых, можем записать уравнение нормали:

y-y0=-1÷ (f΄(x0))×(x-x0)

Если же f΄(x0)=0, то нормалью будет прямая х=х0

Физический смысл производной.

Пусть некоторая материальная точка М движется прямолинейно и задан закон ее движения s = s(t), т.е. известно расстояние s(t) от точки М до некоторой начальной точки

Похожие материалы

Информация о работе