Моделирование случайных факторов. Моделирование генерации нормально-распределенных чисел для значений математического ожидания и дисперсии

Страницы работы

22 страницы (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №1

Дисциплина: идентификация и диагностика систем управления

Тема: моделирование случайных факторов.

Вариант: 22

Выполнил студент гр. 5081/11                                                                               

Проверил:                                                                                                                 

Санкт-Петербург

2010

Задание

1. Провести моделирование генерации нормально-распределенных чисел для следующих значений математического ожидания и дисперсии:

математическое ожидание

0

0

1

дисперсия

1

4

4

Выяснить зависимость оценок (точечных и интервальных) математического ожидания и дисперсии от объема выборки () при доверительном уровне .

2. Определить объемы выборки, необходимые для получения доверительного интервала математического ожидания, равного 0,1 при доверительном уровне . Провести моделирование для полученного значения объема выборки.

3. Провести моделирование генерации вектора нормально-распределенных чисел при размерности 2 и нулевом математическом ожидании для следующих значений корреляционных матриц:

, , , .

Построить оценки заданной корреляционной матрицы и выяснить зависимость оценок от объема выборки.

Построить доверительные интервалы для оценки коэффициента корреляции в зависимости от объема выборки , при доверительном уровне .

4. Провести моделирование генерации случайного процесса, представленного уравнением авторегрессии 1 порядка. Определить оценку коэффициента авторегрессии  для случаев из таблицы вариантов.

5. Для каждого коэффициента авторегрессии  определить коэффициент авторегрессии  для получения процесса авторегрессии 2 порядка, исходя из условия стационарности случайного процесса.

6. Провести моделирование генерации случайного процесса, представленного уравнением авторегрессии 2 порядка. Определить оценку коэффициентов авторегрессии  и .

7. Сформулировать выводы о проделанной работе, оформить отчет.

Вариант

22

0,2

0,15

0,6


1.  Моделирование генерации нормально-распределенных чисел.

Точечные оценки случайной выборки - медиана, отклонение (девиация), оценка математического ожидания  и дисперсии   (среднеквадратического отклонения ):

Интервальные оценки:

Оценка доверительного интервала для математического ожидания:

,

 – -процентный квантиль распределения Стьюдента с  степенями свободы.

* – объем выборки

Q – доверительная вероятность.

Оценка доверительного интервала для дисперсии:

 – -процентный квантиль распределения Хи-квадрат с  степенями свободы.

1.1.  Моделирование генерации нормально-распределенных чисел

1_1.m

clear all;

M = 0; %0 0 1

D = 1; %1 4 4

N = 10; %10 20 50 100 1000

t = 0:0.01:N;

x = normrnd(M, D, 1, N);

MTmp = mean(x);

DTmp = std(x);

figure

plot(x,'k')

hold on

grid on

figure

hist(x,1000)

grid on

.


1.2.  Выяснение зависимости оценок (точечных и интервальных) математического ожидания и дисперсии от объема выборки () при доверительном уровне .

1_2.m

clear all;

N = [10,20,50,100,1000];

M = 0; % 0 0 1

D = 1; % 1 4 4

q = [0.9, 0.95];

aver = zeros(1,5);

dev = zeros(1,5);

for i=1:5

x = normrnd(M,D,1,N(i));

aver(i) = mean(x);

dev(i) = std(x);

end

% матрицы для доверительных интервалов

M9 = zeros(2,5);

M95 = zeros(2,5);

hold on

for i=1:5

M9(1,i) = aver(i)-tinv((1+q(1))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

M9(2,i) = aver(i)+tinv((1+q(1))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

M95(1,i) = aver(i)-tinv((1+q(2))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

M95(2,i) = aver(i)+tinv((1+q(2))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

end

D9 = zeros(2,5);

D95 = zeros(2,5);

hold on

for i=1:5

D9(1,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1+q(1))/2,N(i)-1));

D9(2,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1-q(1))/2,N(i)-1));

D95(1,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1+q(2))/2,N(i)-1));

D95(2,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1-q(2))/2,N(i)-1));

end

disp('N:      10        20        50       100      1000');

disp(' ');

disp('Интервальная оценка мат. ожидания:');

disp('q = 0.9');

disp(M9);

disp('q = 0.95');

disp(M95);

disp('Интервальная оценка дисперсии:');

disp('q = 0.9');

disp(D9);

disp('q = 0.95');

disp(D95);

disp('Точечная оценка мат. ожидания:');

disp(aver);

disp('Точечная оценка дисперсии:');

disp(dev);

plot(N, M9(1,:),'ko',N, M95(1,:),'r*', N, aver, 'b+', N, M9(2,:),'ko', N, M95(2,:),'r*',[10,1000],[M,M]);

xlabel('n');

ylabel('M');

legend('Интервальная оценка мат. ожидания, q = 0.9','Интервальная оценка мат. ожидания, q = 0.95', 'Точечная оценка мат. ожидания');

figure

plot(N, D9(1,:),'ko',N, D95(1,:),'r*', N, dev,'b+', N, D9(2,:),'ko',N, D95(2,:),'r*',N,dev,'b+',[10,1000],[D,D]);

xlabel('n');   

ylabel('D');

legend('Интервальная оценка дисперсии, q = 0.9','Интервальная оценка дисперсии, q = 0.95', 'Точечная оценка дисперсии');

Рис. 1.2.1. Оценка математического ожидания для различных выборок при (0,1).

Рис. 1.2.2. Оценка дисперсии для различных выборок при (0,1).

N:      10        20        50       100      1000

Интервальная оценка мат. ожидания:

q = 0.9

   -0.6063   -0.0612   -0.2817   -0.2130   -0.0817

    0.2088    0.5852    0.1709    0.1255    0.0233

q = 0.95

   -0.7017   -0.1292   -0.3267   -0.2460   -0.0917

    0.3042    0.6533    0.2158    0.1585    0.0334

Интервальная оценка дисперсии:

q = 0.9

    0.5128    0.6637    0.8202    0.9137    0.9727

    1.1567    1.1456    1.1469    1.1555    1.0470

q = 0.95

    0.4836    0.6357    0.7972    0.8950    0.9660

    1.2836    1.2210    1.1893    1.1842    1.0546

Точечная оценка мат. ожидания:

   -0.1987    0.2620   -0.0554   -0.0438   -0.0292

Точечная оценка дисперсии:

    0.7031    0.8360    0.9544    1.0194    1.0084

Рис. 1.2.3. Оценка математического ожидания для различных выборок при (0,4).

Рис. 1.2.4. Оценка дисперсии для различных выборок при (0,4).

N:      10        20        50       100      1000

Интервальная оценка мат. ожидания:

q = 0.9

-1.8418   -2.0310   -1.2738   -0.4313   -0.2763

1.9332    0.6347    0.4194    0.8533    0.1437

q = 0.95

-2.2836   -2.3115   -1.4420   -0.5566   -0.3166

2.3750    0.9152    0.5876    0.9786    0.1840

Интервальная оценка дисперсии:

q = 0.9

2.3748    2.7368    3.0687    3.4673    3.8906

5.3570    4.7241    4.2909    4.3850    4.1878

q = 0.95

2.2397    2.6216    2.9827    3.3964    3.8640

5.9444    5.0349    4.4495    4.4938    4.2183

Точечная оценка мат. ожидания:

0.0457   -0.6981   -0.4272    0.2110   -0.0663

Точечная оценка дисперсии:

3.2561    3.4472    3.5706    3.8684    4.0333

Рис. 1.2.5. Оценка математического ожидания для различных выборок при (1,4).

Рис. 1.2.6. Оценка дисперсии для различных выборок при (1,4).

N:      10        20        50       100      1000

Интервальная оценка мат. ожидания:

q = 0.9

   -1.6790   -0.1095   -0.2763   -0.0866    0.7317

    1.9820    2.3361    1.4110    1.3084    1.1507

q = 0.95

   -2.1074   -0.3668   -0.4439   -0.2226    0.6915

    2.4104    2.5934    1.5786    1.4444    1.1909

Интервальная оценка дисперсии:

q = 0.9

    2.3031    2.5108    3.0582    3.7652    3.8816

    5.1951    4.3340    4.2762    4.7617    4.1781

q = 0.95

    2.1720    2.4051    2.9724    3.6882    3.8550

    5.7648    4.6191    4.4342    4.8798    4.2085

Точечная оценка мат. ожидания:

    0.1515    1.1133    0.5673    0.6109    0.9412

Точечная оценка дисперсии:

    3.1578    3.1625    3.5584    4.2007    4.0240

2.  Определение объема выборки, необходимого для получения доверительного интервала математического ожидания, равного 0,1 при доверительном уровне .

Объем выборки для оценки математического ожидания:

clc

q=[0.9, 0.95];

X_9=zeros(2,1);

X_95=zeros(2,1);

M=0;

D=1;

h=0.1;

n1 = 1057;

n2 = 1480;

n_90_min=(D/(h/2)^2)*(1.282)^2

n_90 = n1

x = normrnd(M,D,1,n1);

Xsr=mean(x);

S2=std(x)^2;

X_9_l = Xsr-tinv((1+q(1))/2, n1-1)*S2/sqrt(n1);

X_9_h = Xsr+tinv((1+q(1))/2, n1-1)*S2/sqrt(n1);

interval_90=X_9_h-X_9_l

n_95_min=(D/(h/2)^2)*(1.645)^2

n_95 = n2

x=normrnd(M,D,1,n2);

Xsr=mean(x);

S2=std(x)^2;

X_95_l = Xsr-tinv((1+q(2))/2, n2)*S2/sqrt(n2);

X_95_h = Xsr+tinv((1+q(2))/2, n2)*S2/sqrt(n2);

interval_95=X_95_h-X_95_l

n_90_min = 657.4096

n_90 =1057

interval_90 = 0.1005

n_95_min = 1.0824e+003

n_95 =1480

interval_95 = 0.1045

Рис. Моделирование для полученных значений выборки

3.  Провести моделирование генерации вектора нормально-распределенных чисел при размерности 2 и нулевом математическом ожидании для следующих значений корреляционных матриц:

, , , .

Построить оценки заданной корреляционной матрицы и выяснить зависимость оценок от объема выборки.

Построить доверительные интервалы для оценки коэффициента корреляции в зависимости от объема выборки , при доверительном уровне .

r = 0,2

Многомерное нормальное распределение вектора:

где mi – математическое ожидание хi,

       С – ковариационная матрица

Двумерное нормальное распределение:

Распределение моделируется с помощью линейного преобразования Х=Аy+mx; А определяется условием С=А*АТ, где А – нижнетреугольная матрица.

В Matlab определение А производится на основе разложения Хорецкого с помощью функции R = chol(r), дающей значение матрицы А – верхнетреугольной матрицы.

Приближенный доверительный интервал для коэффициента корреляции двумерного нормального распределения, коэффициент корреляции  неизвестен.

 – оценка .

,

,

.

 – -процентный квантиль нормального распределения.

3.m

clear all

r = -0.82; % 0 0.18 0.82 -0.82

R = [1,r;r,1];

N = [10,20,50,100,1000];

a = [0.9,0.95];

R9 = zeros(2,5);

R95 = zeros(2,5);

r_coeff = zeros(1,5);

q1 = chol(R);

q = q1';

for i=1:5

z1 = zeros(N(i),2);

z2 = z1;

for j=1:N(i)

x1 = randn(2,1);

z1(j,:) = x1';

x2 = q*x1;

z2(j,:) = x2';

end

r2 = cov(z2);

KK = r2(1,2)/sqrt(r2(1,1)*r2(2,2));

r_coeff(i) = KK;

z = 1/2*log((1+KK)/(1-KK));

d = norminv((1+a(1))/2)*sqrt(1/(N(i)-3));

R9(1,i)=(exp(2*z-2*d)-1)/(exp(2*z-2*d)+1);

R9(2,i)=(exp(2*z+2*d)-1)/(exp(2*z+2*d)+1);

d = norminv((1+a(2))/2)*sqrt(1/(N(i)-3));

R95(1,i)=(exp(2*z-2*d)-1)/(exp(2*z-2*d)+1);

R95(2,i)=(exp(2*z+2*d)-1)/(exp(2*z+2*d)+1);

end

disp('N:      10        20        50       100      1000');

disp(' ');

disp('Интервальная оценка коэффициента корреляции:');

disp('q = 0.9');

disp(R9);

disp('q = 0.95');

disp(R95);

disp('Точечная оценка коэффициента корреляции:');

disp(r_coeff);

plot(N, R9(1,:),'ko',N, R95(1,:),'r*', N, r_coeff, 'b+', N, R9(2,:),'ko', N, R95(2,:),'r*',[10,1000],[r,r]);

legend('Интервальная оценка коэффициента корреляции, q = 0.9','Интервальная оценка коэффициента корреляции, q = 0.95', 'Точечная оценка коэффициента корреляции');

xlabel('n');

ylabel('R');

figure('color', 'white')

plot(z1(1:1000,1), z1(1:1000,2),'ro')

figure('color', 'white')

plot(z2(1:1000,1), z2(1:1000,2),'bo')

r = 0

Рис.3.1. Интервальная оценка коэффициента корреляции для различного объема

Похожие материалы

Информация о работе