Інтэгралы, залежныя ад параметра. Правілам Ляйбніца дыферэнцавання ІЗАП

Раздзел 10. Інтэгралы, залежныя ад параметра.

§10.1. Інтэгралы, залежныя ад параметра.

Няхай на прамавугольніку  вызначана функцыя . Калі  функцыя  ёсць інтэгравальная па  на , то інтэграл  ёсць функцыя ад параметра , вызначаная на . Пры гэтым

                                            (1)

называюць інтэгралам, залежным ад параметраy (ІЗАП).

Калі функцыя  вызначана на мностве больш агульнага выгляду

і на  існуе інтэграл

 ,                                                      (2)

то гэты інтэграл называюць ІЗАП са зменнымі межамі.

Нагадаем, што функцыя  зменных  называецца раўнамерна непарыўнаю на , калі .

Тэарэма 1 (пра непарыўнасць ІЗАП). Калі функцыя  ёсць непарыўная на прамавугольніку , то ІЗАП  ёсць непарыўная функцыя на .

□ Паколькі функцыя  ёсць непарыўная на замкнёным абмежаваным мностве , то паводле тэарэмы Кантара яна раўнамерна непарыўная на , г. зн.

.

Калі ўзяць , то маем

.     (3)

Тады

Гэта азначае, што функцыя  – непарыўная ў кожным пункце .■

Заўвага. Можна паказаць, што калі  ёсць непарыўная на  і  – непарыўныя на , то  ёсць непарыўная функцыя на .

Тэарэма 2 (пра інтэгравальнасць ІЗАП). Калі функцыя  ёсць непарыўная на , то ІЗАП  ёсць інтэгравальная на  функцыя, прычым 

.                                          (4)

□ Паколькі  як непарыўная функцыя (Тэарэма 1) ёсць інтэгравальная. то . Апошні інтэграл і інтэграл з правай часткі роўнасці (4) можна разглядаць як паўторныя для падвойнага інтэграла , які існуе для непарыўнай на  функцыі. Таму інтэгралы з (4) супадаюць. ■

Тэарэма 3 (пра дыферэнцавальнасць ІЗАП). Калі функцыя  і яе частковая вытворная  ёсць непарыўныя на , то ІЗАП  ёсць непарыўна дыферэнцавальная на  функцыя, прычым 

,                                                (5)

г. зн.  (ІЗАП можна дыферэнцаваць пад знакам інтэграла).

□ Увядзем дапаможную функцыю

.                                                   (6)

Паколькі  ёсць непарыўная на , то згодна з тэарэмаю 1 функцыя  ёсць непарыўная на  і інтэграл ад яе можна вылічыць паводле формулы (4) інтэгравання ІЗАП пад знакам інтэграла:

, г. зн. , адкуль на падставе тэарэмы Барроў . Замяняючы ў (6)  на , атрымаем (5). ■

Формулу (5) называюць правілам Ляйбніца дыферэнцавання ІЗАП.

Заўвага. Калі функцыі  і  ёсць непарыўныя на  і  – непарыўна дыферэнцавальныя на , то  ёсць непарыўна дыферэнцавальная функцыя на , прычым

             (7)

– правіла Ляйбніца дыферэнцавання ІЗАП са зменнымі межамі.

Сапраўды, няхай . Тады

.                                             (8)

Функцыя  мае непарыўныя частковыя вытворныя па ўсім зменным:

 – згодна з тэарэмаю Барроў;  – згодна з тэарэмаю 3. Тады з (8) на падставе тэарэмы пра вытворную складанай функцыі

што і азначае праўдзівасць формулы (7).

Прыклад 1. Вылічыць інтэграл .

► Будзем разглядаць гэты інтэграл як ІЗАП з параметрам  і абазначым яго праз =.. Тады

Такім чынам, з роўнасці  маем

Паколькі з умовы  вынікае, што , то .◄

§10.2. Неўласцівыя інтэгралы,  залежныя ад параметра (НІЗАП).

Няхай на паласе  вызначана функцыя . Калі  неўласцівы інтэграл  ёсць збежны, то кажуць, што ён збежны на адрэзку . Пры гэтым на адрэзку  вызначана функцыя

,                                            (1)

якую называюць неўласцівым інтэгралам, залежным ад параметра  (НІЗАП).

Збежнасць НІЗАП  да функцыі  азначае існаванне ліміту

, г. зн.    .

Такім чынам, НІЗАП (1) ёсць збежны на адрэзку , калі і толькі калі

.

def.  Кажуць, што НІЗАП (1) збягаецца раўнамерна па параметру у на адрэзку , калі  .

Калі НІЗАП (1) збягаецца на адрэзку , але не ёсць  раўнамерна збежны па параметру  на , то кажуць, што НІЗАП (1) збягаецца нераўнамерна па параметру  на адрэзку   г. зн.

 .

Прыклад 1. Даследаваць на раўнамерную збежнасць інтэграл  на адрэзках: 1) ; 2)  .

► 1)   –інтэграл збягаецца раўнамерна.

2) Паколькі , калі . Такім чынам, , г. зн. інтэграл збягаецца нераўнамерна на .◄

Заўвага. НІЗАП  – непарыўная на абодвух адрэзках функцыя , але на першым з іх ён збягаецца раўнамерна, а на другім нераўнамерна, г. зн. няма аналогіі з тэарэмай Кантара пра раўнамерную непарыўнасць функцыі .

Тэарэма 1 (Прыкмета Ваерштраса раўнамернай збежнасці НІЗАП). Калі  функцыя  ёсць інтэгравальная па  на адрэзку  і калі

 ,                                                 (2)

а                                                                                                                      (3)

ёсць збежны, то НІЗАП  ёсць абсалютна і раўнамерна збежны па  на .

□ З (2) і з прыкметы параўнання для НІ-1 вынікае, што НІЗАП (1) ёсць абсалютна збежны на . Збежнасць інтэграла (3) азначае:

 .

На падставе няроўнасці (2) маем .

Такім чынам, атрымалі, што

.

Гэта і азначае, што НІЗАП (1) ёсць раўнамерна збежны на .■

Тэарэма 2 (пра непарыўнасць НІЗАП). Калі функцыя  ёсць непарыўная на , а НІЗАП (1) ёсць раўнамерна збежны на , то функцыя   з (1) ёсць непарыўная на .

□ Возьмем адвольнае значэнне . Тады

=

Такім чынам,

           (4)

Паколькі НІЗАП (1) ёсць раўнамерна збежны, то

.    (5)

Зафіксуем пэўнае значэнне  і разгледзім прамавугольнік . Паколькі  ёсць раўнамерна непарыўная на  (на падставе тэарэмы Кантара), то для выбранага раней

 .          (6)

З няроўнасцяў (4), (5) і (6) вынікае:

, калі , г. зн. функцыя  ёсць непарыўная ў пункце , а тым самым на  . ■

Заўвага. Раўнамерная збежнасць не з’яўляецца неабходнаю ўмоваю для непарыўнасці НІЗАП. У прыкладзе 1 функцыя  – непарыўная на , хаця НІЗАП  не з’яўляецца раўнамерна збежным на гэтым адрэзку.