Представление форм булевых функций с использованием основных законов булевой алгебры

Страницы работы

Содержание работы

1. Представление форм булевых функций с использованием основных законов булевой алгебры

Необходимо отметить, что реализация конкретного устройства осуществляется в несколько этапов, а именно:

Рис. 1.

2.1 Представление заданной БФ с помощью:

a)  номеров наборов;

b)  таблиц истинности;

c)  СДНФ, СКНФ;

d)  диаграммы Вейча-Карно.

Задача 1.

Представить булеву функцию трех аргументов f(x1,x2,x3) равную единице на наборах 0, 2, 3, 4, 6 и нулю на остальных наборах, в виде:

a)  номеров наборов;

b)  таблицы истинности;

c)  СДНФ, СКНФ;

d)  диаграммы Вейча-Карно.

Решение.

a)  f0(X1,X2,X3) = 1,5,7        и         f1 (X1,X2,X3) = 0,2,3,4,6

b)  таблица истинности:

Таблица 1

№ набора

X1

X2

X3

F(X1,X2,X3)

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

2

0

1

0

1

3

0

1

1

1

4

1

0

0

1

5

1

0

1

0

6

1

1

0

1

7

1

1

1

0

c)   СКНФ:     f0(X1,X2,X3) =   СДНФ:   

d)   f1(X1,X2,X3) =

e)  Диаграмма Вейча-Карно для булевой функции f(x1,x2,x3)

Рис. 1.


2. Минимизация форм представления булевых функций и их реализация в различных системах логических элементов

2.1.  Минимизация заданной БФ методом диаграмм Вейча-Карно:

Задача2.

Получить МДНФ и МКНФ булевой функции трех аргументов f(x1,x2,x3) равную единице на наборах 0, 2, 3, 4, 6 и нулю на остальных наборах.

Решение.

Наборы в двоичном алфавите имеют вид 000, 010, 011, 100, 110.

Строим диаграмму Вейча-Карно. Строим контуры (1, 2), получаем МДНФ:

f1(X1,X2,X3) =

Рис.2. Диаграмма для булевой функции f(x1,x2,x3)

Аналогично для МКНФ: f0(X1,X2,X3) =  

Задача 3

Имеем техническое устройство, 4-х точках которого установлены термодатчики Х1, Х2, Х3, Х4, фиксирующие превышение температуры над установленными значениями. Нарушение функционирования устройства возможно при одновременном перегреве точек:

  • 1,2,3,4 (набор 15);
  • 3,4 (набор 12);
  • 1,2,3 (набор 7);
  • 2 (набор 2).

Невозможными являются две ситуации: номера наборов 3 и 14.

Решение.

1.  Составляем таблицу истинности.

Таблица 2

Номер набора

Х4

Х3

Х2

Х1

Y

0

0

0

0

0

-

1

0

0

0

1

-

2

0

0

1

0

1

3

0

0

1

1

0

4

0

1

0

0

-

5

0

1

0

1

-

6

0

1

1

0

-

7

0

1

1

1

1

8

1

0

0

0

-

9

1

0

0

1

-

10

1

0

1

0

-

11

1

0

1

1

-

12

1

1

0

0

1

13

1

1

0

1

-

14

1

1

1

0

0

15

1

1

1

1

1

2. Строим диаграмму Вейча-Карно.

Рис.3.

3. Получаем функцию

4. Строим устройство

Рис.4.

2.2.  Структурная реализация минимизированной БФ в булевом базисе элементов и в базисах элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ и выбор оптимального варианта.

Задача 4.

Построить структурную схему узла, реализующего функции

f1(X1,X2,X3) =        и           f0(X1,X2,X3) =

в булевом базисе элементов и в базисах элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ и выбрать оптимальный вариант.

Прежде чем приступить к решению данной задачи преподаватель должен напомнить обучаемым о функционально полных системах булевых функций, а также порядок синтеза комбинационных схем в базисе элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ:

Понятие о функционально-полной системе булевых функций

Каждой переключательной функции можно поставить в соответствие устройство – логический элемент. Набор ЛЭ, реализующий любую булеву функцию, называется функционально полным или базисом. Булев базис представляет собой операции НЕ, И, ИЛИ. При построении схемы логические операции заменяются соответствующими элементами. Существуют и другие функционально полные наборы ЛЭ. При помощи только элементов И-НЕ, а также только элементов ИЛИ-НЕ можно реализовать любую переключательную функцию. Поэтому они являются функционально полными и называются соответственно базис Шеффера и базис Пирса. Выбор этих базисов объясняется тем, что технология производства этих элементов является простой, надежной и дешевой. ЛЭ И-НЕ создаются по технологиям ТТЛ и МОП, а ИЛИ-НЕ по технологиям ЭСЛ и И2Л.

Для доказательства функциональной полноты базисов И-НЕ, ИЛИ-НЕ необходимо и достаточно реализовать в этих базисах операции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции:

Рис.5.


Порядок синтеза комбинационных схем в базисе элементов

И-НЕ и ИЛИ-НЕ:

  1. Известными методами получить МДНФ или МКНФ (для И-НЕ и ИЛИ-НЕ базисов соответственно).
  2. Взять двойное отрицание от полученной МДНФ или МКНФ.
  3. Раскрыть нижнее из отрицаний в соответствии с законом инверсий (правилом де Моргана), доведя его до отрицаний отдельных импликант.
  4. По полученной формуле построить схему узла.

Главной задачей при этом является избавление в записи МНФ от конъюнкций и дизъюнкций соответственно.

Построить схемы в выбранных базисах.

Решение.

Рис.6.

Рис.7.

Задача 5.

Синтезировать структурную схему узла реализующего заданную функцию:

Таблица 3

Номера наборов

Значение функции

Базис

0,1,6,7,8,9

1

И-НЕ

(Шеффера)

Решение.

Наборы в двоичном алфавите имеют вид 0000, 0001, 0110, 0111, 1000, 1001.

Строим диаграмму Вейча-Карно. Строим контуры (1, 2), получаем МДНФ:

f1(X1,X2,X34) =

Рис. 8.

Структурная реализация минимизированной БФ в базисе Шеффера (элементов И-НЕ)

Рис. 9.

Похожие материалы

Информация о работе