Оптимизация показателей качества с использованием нелинейного программирования

Страницы работы

Содержание работы

Подпись: При работе с  данным разделом Вам предстоит
ознакомиться с:
- методами решения нелинейных задач оптимизации показателей качества при наличии ограничений;
- графоаналитическим методом решения задач нелинейного программирования;
- методом множителей Лагранжа;
- использованием нелинейного программирования в конкретных задачах оптимизации показателей качества.
Раздел 3. Оптимизация показателей качества с использованием нелинейного программирования

3.1. Графоаналитический метод решения задач нелинейного программирования.

          Рассмотрим задачу нелинейного программирования, которая заключается в том, чтобы определить максимальное (минимальное) значение функции n переменных

F(х12,….,хn)                                            (3.1)

при ограничениях вида

fi12,….,хn) = ai         (i = 1,2, …p)       (3.2)

fi12,….,хn) ≤ ai         (i = p+1,…m)       (3.3)

где F(х12,….,хn) и  fi12,….,хn) известные функции, по крайней мере одна из которых является нелинейной, ai – заданные числа.

          Решением задачи являются координаты точки Х* =(х*1*2,… х*n), при которых достигается экстремальное значение функции F(х12,….,хn) и выполняются ограничения задачи (3.2), (3.3).

          Если на переменные наложены условия неотрицательности, то эти условия также включаются в ограничения (3.2), (3.3).

          Для решения задачи (3.1), (3.2), (3.3) необходимо определить область допустимых решений и найти точку внутри или на границе этой области, через которую проходит гиперповерхность экстремального уровня F(х12,….,хn) = dэкстр.

 Графоаналитическое решение задач нелинейного программирования осуществляется в следующей последовательности:

1. Исходя из ограничений (3.2), (3.3) определяется область допустимых решений задачи.

2. На основе (3.1) придавая различные постоянные значения функции F(х12,….,хn) = dстроятся гиперповерхности разных уровней.

3. Находят гиперповерхность экстремального уровня, которая имеет dmaxили dminи определяется координата точки из области допустимых значений, через которую проходит эта гиперповерхность.

4. Подставляя координаты этой точки в (1) получают решение задачи – максимальное или минимальное значение целевой функции.

Пример 1. Найти максимальное значение функции

                              F =  х1 – ( х2 )2 + 4 х2                       (3.4)

при условиях:             2х1 + 3 х2  ≤ 30                     (3.5)

 х1 + 2 х2  ≤ 18                   (3.6)

 3 х1 + 2 х2 ≤ 30                 (3.7)

 х1 ≤ 7 ,  х1 , х2 ≥ 0             (3.8)

Решение. Задача (3.4)…(3.8)  является задачей нелинейного программирования, так как целевая функция (1) является нелинейной.

1. Выделяем область допустимых решений задачи. . Строим прямые, определяя точки пересечения с осями координат:

2 х1 + 3 х2 = 30; →  [(х1=0; х2 =10); (х1=15; х2=0)]

х1 + 2 х2 = 18; → [(х1=0; х2=9); (х1=18; х2=0)]

3 х1 + 2 х2 = 30; → [(х1=0;, х2=15); (х1=10; х2=0)]

х2 = 7;  → [(х1=7; х2=0) ]

Этой областью в плоскости х1 , х2 является многоугольник ОАВСД (Рис.3.1).

2. Исходя из (3.4) придавая различные постоянные значения  функции

F =х1– ( х2 )2 + 4 х2 = d строим линии уровня для различных значений d:

d = 5, х1 = 1; d = 4, х1 = 0; d = 8, х1 = 4.

3. Находим линию уровня, которая имеет максимальное значение d и определяем координаты точки Е из области допустимых значений, через которую проходит эта линия: х1 = 7; х2 = 2.

4. Подставляем координаты точки Е в (3.4) и вычисляем максимальное значение целевой функции Fmax = 11 (Рис.3.1).

Пример 2.Найти максимальное и минимальное значение функции

F = (X1 – 3)2 + (X2 – 4)2          (3.9)

при условиях:                   3 X1 –  2 X2 ≤ 24;            (3.10)

                                           3 X1 +  2 X2 ≥ 6;             (3.11)

                                            - X1 + 3 X2 ≤ 12;            (3.12)

                                                    X1 ,X2 ≥ 0              (3.13)

Решение. Задача (3.9)…(3.13)  является задачей нелинейного программирования, так как целевая функция (3.9) является нелинейной.

1. Выделяем область допустимых решений задачи. . Строим прямые, определяя точки пересечения с осями координат:

3 х1 - 2 х2 = 24; →  [(х1=0; х2 = -12); (х1= 8; х2=0)]

х1 + 2 х2 = 18; → [(х1=0; х2=3); (х1= 2; х2=0)]

3 х1 + 2 х2 = 30; → [(х1=0;, х2= 4); (х1= - 12; х2=0)]

Этой областью в плоскости х12 является четырехугольник АВСД (Рис.3.2).

Рис. 3.1. Область допустимых решений (к примеру 1).

2. Исходя из (3.9) придавая различные постоянные значения  функции

F =(X1 – 3)2 + (X2 – 4)2 = d строим линии уровня (окружности с центром в точке X1 = 3, X2 = 4 и радиусом R = (d)2 ) для различных значений d (Рис. 3.2).

3. Находим линию уровня, которая имеет максимальное значение d, т. е. окружность максимального радиуса, проходящую через точку С. Координаты точки С, как точки пересечения прямых (3.10) и (3.12), находим решая систему уравнений (3.10), (3.12): С(13,7; 8,6).    

4. Подставляем координаты точки С в (3.9) и вычисляем максимальное значения целевой функции Fmax = 135,7. Минимальное значение целевой функции Fmin = 0 достигается в центре окружности. (Рис. 3.2).

Рис. 3.2. Область допустимых решений (к примеру 2).

Пример 3.Найти максимальное и минимальное значение функции

                                       F =  (X1 – 3)2 + (X2 – 4)2          (3,14)

при условиях:                   3 X1 +  3 X2 ≥ 10;            (3.15)

                                           5 X1 +  2 X2 ≤ 14;            (3.16)

                                         - 3 X1 + 3 X2 ≤ 10;             (3.17)

                                                    X1 ,X2 ≥ 0               (3.18)

Решение. Задача (3.14)…(3.18)  является задачей нелинейного программирования, так как целевая функция (3.14) является нелинейной.

1. Выделяем область допустимых решений задачи. . Строим прямые, определяя точки пересечения с осями координат:

3 X1 +  3 X2 ≥ 10; →  [(х1=0; х2 = 3,3); (х1= 3,3; х2=0)]

5 X1 +  2 X2 ≤ 14; → [(х1=0; х2=7); (х1= 2; х2=2,8)]

- 3 X1 + 3 X2 ≤ 10;   → [(х1=0;, х2= 3,3); (х1= - 3,3; х2=0)]

Этой областью в плоскости х12 является треугольник АВС (Рис.3.3).

2. Исходя из (3.14) придавая различные постоянные значения  функции

F =(X1 – 4)2 + (X2 – 5)2 = d строим линии уровня (окружности с центром в точке X1 = 4, X2 = 5 и R = (d)1/2 ) для различных значений d (Рис. 3.3).

Похожие материалы

Информация о работе