Многокритериальные задачи оптимизации показателей качества, страница 2

fi  ≥  fi*, I = 1,2, …N

          Кроме того среди критериев выделяется один основной критерий  fк(x).

В этом случае задача сводится к однокритериальной задаче – определить

max fк(x), х € Х

при выполнении ограничений

fi  ≥  fi*, при i ≠ k.

          Метод решения многокритериальных задач, основанный на ведении метрики  пространстве целевых функций предполагает, что известно идеальное решение f1,f2,…,fN как предельная точка абсолютного максимума в пространстве критериев, не достижимая при различных значениях альтернатив. Вводится метрика, например, в виде евклидова расстояния от точки {f1(x), f2(x),…, fN(x)} до точки {f1,f2,…,fN} в пространстве критериев

d(x) =  ∑[ fi(x) – fi ]2

Функция d(x) принимается в качестве скалярного критерия. Наилучшей альтернативой является альтернатива, определяемая из условия:

x* = arg min f(х)

     х € Х

Кроме методов решения многокритериальных задач, основанных на различных свертках критериев существуют методы, основанные на сокращении множества альтернатив за счет сокращения неперспективных вариантов. Одним из таких методов является метод, предложенный итальянским экономистом В. Парето в 1904 г. выделение множества Парето.

Альтернатива принадлежит множеству Парето, если она не хуже остальных по всем критериям и хотя бы по одному критерию лучше. Альтернативы из множества Парето называются эффективными (недоминируемыми).

Принцип Парето, используемый при решении многокритериальных задач, заключается в том, что наилучшее решение принадлежит множеству Парето.

          Таким образом, в результате применения принципа Парето исходное множество альтернатив сужается, а окончательных выбор производится с использованием предпочтений ЛПР.

Особое место занимают задачи принятия решений в случае, когда антагонистическая конфликтная ситуация распространяется на многих субъектов, каждый из которых стремиться достичь своей цели. В теории игр несогласованность целей называется конфликтом, а согласованное решение – компромиссом.

          Пусть каждый из N субъектов желает сделать выбор своей стратегии

хi € Хi   таким образом, чтобы максимизировать свою целевую функцию. Значение целевой функции с учетом выбора остальных субъектов зависит от выбора всех остальных участников:

fi =  fi1*, х2*,…хi-1*, хi, хi+1*,…,   хN*)

          Ситуация равновесия означает такой выбор х* = {х1*, х2*,…,  хN*} , если для любого i выполняется условие:

max fi1*, х2*,…хi-1*, хi, хi+1*,…,   хN*) =  fi1*, х2*,…, хi*,…,   хN*)

          Точки равновесия называются устойчивыми точками в том случае, если i-тый субъект отступит от равновесной стратегии и выберет другую стратегию, то он проиграет

  fi1*, х2*,…хi-1*, хi, хi+1*,…,   хN*) <  fi1*, х2*,…, хi*,…,   хN*)

          В этом заключается принцип устойчивости (принцип Нэша), в соответствии с которым выбор рациональной стратегии должен производиться в соответствии с (1).

          Для применения этого принципа с целью оценки качества альтернатив и для исключения альтернатив, не удовлетворяющих принципу Нэша, необходимо, чтобы решение принималось коллективно (по договоренности) и каждый из субъектов должен поступиться частью своих интересов для достижения устойчивости компромисса.

          В качестве метода отбрасывания неконкурентоспособных альтернатив гарантированно принцип Нэша можно применять только в том случае, если точки устойчивого компромисса являются также точками множества Парето. Системы в которых устойчивые компромиссы принадлежат к множеству Парето составляют особый класс систем – это системы Геймейера. В этих системах множество эффективных компромиссов  содержит устойчивые выборы.

          Пусть имеется N равноправных субъектов (партнеров), каждый из которых преследует определенные собственные цели. Но кроме собственных целей все субъекты обладают одной общей целью, для достижения которой каждый из субъектов должен поступиться частью своих интересов. Пусть далее fii), I = 1,2,…, N – целевые функции субъектов, где хi – ресурс, находящийся целиком в распоряжении субъекта i. Кроме этих целевых функций имеется еще общая цель, описываемая функцией F(y1, …, yN). Эта целевая функция зависит от решений, принимаемых всеми партнерами, yi – ресурс, который выделяет i-тый субъект для достижения общей цели, т. е. вклад в достижение общей цели.

          Следовательно, цели каждого можно описать векторным критерием:

fii) → max,  F(y1, …, yN) → max        (*)

где   хi + yi =  аi , I = 1, …, N,  аi – суммарный ресурс, находящийся в распоряжении  i-того субъекта. Каждый субъект делит свой ресурс на две части. Ресурс yi он отправляет на обеспечение коллективных интересов, а ресурс    хi = аi - yi – на достижение собственных целей.

          Векторный критерий  (*) с помощью некоторого оператора свертки ψ критериев  fii) и  F  можно привести к скалярному критерию:

Ji =  ψ ( fii),  F(y1, …, yN) )

где ψ – оператор свертки критериев fii) и  F, который может быть представлен, например, в виде:

Ji = min { λi fii);  F(y1, …, yN)}

где – весовые коэффициенты, характеризующие степень заинтересованности объектов в достижении общей цели.

          Для гермейеровских систем существует область стабильности (гомеостаза), границей которой является поверхность F(y1, …, yN) = F0. Области стабильности соответствует значение функционала F, превосходящее F0. Стремлению субъекта находиться в более стабильном состоянии соответствует увеличение F.

Пример. Даны бальные оценки 9 вариантов (альтернатив) по 10 критериям в задаче принятия решений полученные на основе экспертных данных (табл.5.1). Требуется:

1. Выделить варианты, входящие в множество Парето, предполагая критерии равной важности.

2. Для вариантов, включенных в множество Парето, из табл. 5.2. выбрать весовые коэффициенты и с их учетом определить наилучший вариант используя:

а) аддитивную свертку критериев;

б) мультипликативную свертку критериев;

в) свертку по наихудшему критерию (максиминную свертку);

г) свертку по наилучшему критерию;

д) метод пороговых критериев;

е) метод расстояния;

ж) метод главного критерия.

Пороговое значение для каждого варианта дано в последней строке табл.2