Расчёт статически неопределимых систем (рам и балок): Методическое пособие, страница 3

 

Полученная система уравнений носит название системы канонических уравнений метода сил. Для её решения необходимо построить эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (грузовая эпюра) (рис. 12,в) и единичных усилий (Х₁=1; Х₂=1; Х₃=1;) (рис. 12,г) и пользуясь методом Мора вычислить коэффициенты канонических уравнений (если возможно воспользоваться способом Верещагина)

                 или             

рис. 12 (продолжение)

В рассматриваемом примере:

При определении коэффициентов необходимо помнить следующее:

I.   Коэффициенты, имеющие двойные одинаковые индексы                                 (d₁₁; d₂₂; d₃₃; d_ii; и т.д.), называются главными. Они вычисляются умножением эпюр от единичных нагрузок самих на себя. Эти коэффициенты всегда положительны.

II. Коэффициенты имеющие разные индексы                                                       (d₁₂; d₃₁; d₂₃; d_ij; и т.д.), называются побочными. Они вычисляются умножением эпюр от разных единичных сил друг на друга и могут быть положительными, отрицательными, нулевыми. Коэффициенты: d₁₂; d₃₁; d₂₃;  и т.д. - попарно равны между собой d_ij = d_ji(на основании теоремы о взаимности перемещений).

III. Грузовые коэффициенты (D_1p; D_2p; и т.д.) вычисляются умножением грузовой эпюры соответствующую единичную. При вычислении грузовых коэффициентов площади всегда берутся с криволинейной эпюры, а ордината под её центром тяжести - с линейной. Эти коэффициенты могут быть: положительными, отрицательными, нулевыми.

 Найденные значения коэффициентов необходимо подставить в систему уравнений и решить последнюю.

                             

Задача считается решённой, если найдены значения всех неизвестных и построена суммарная эпюра изгибающих моментов. построение суммарной эпюры может быть выполнено двумя способами.

При первом способе построения основную систему нагружают внешними нагрузками и найденными значениями неизвестных усилий (рис. 12,д). Если  в результате решения системы уравнений, оказалось, что какое-то из неизвестных имеет знак минус (в нашем случае  Х₂= -3р/64), то при нагружении этим усилием основной системы необходимо изменить его направление на противоположенное. Дальнейшее построение эпюры изгибающих моментов выполняется по общим правилам, т.е. для каждого участка рамы записываются уравнения изгибающих моментов и производятся соответствующие подсчёты.

Рама, представленная на рис. 12,д  имеет три участка, для которых могут быть записаны следующие уравнения:

1.  участок (ВС):                           

                                                             

2. участок (СD):                           

                                          

 3. участок (DА):                           

                        

Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 12,е.

При другом способе построения, эпюра М_S , построенных от действительных значений Х₁;Х₂ и т.д., найденных при решении системы уравнений, и грузовой эпюры. В нашем случае: эпюры от Х₁;Х₂;Х₃; (рис. 12,ж) и эпюры от внешних нагрузок (рис. 12,в).

Суммирование производится по точкам.

Точка В

            

Точка С

             

Точка D 

                 

Точка A

               

 Найденные значения соответствуют вычисленным ранее при построении суммарной эпюры первым способом (рис. 12, е).

3.2.а.2. Проверка правильности полученного решения.

Известно, что перемещение по напровлению действия связи должно отсутствовать. Это условие и используется при проверке.

Для исследуемой рамы выбирают новую основную систему (рис. 13,а) и нагружают её единичной нагрузкой, действующей по направлению одной из отброшенных связей (рис. 13,б). От действия этой нагрузки строят единичную эпюру (рис. 13,в). Эту эпюру по правилу Верещагина перемножают с эпюрой М (рис. 12,е); результат перемножения должен дать  0.

В ряде случаев непосредственное вычисление площадей элементов суммарной эпюры и определение их центров тяжести бывает затруднительно.

рис. 13

Поэтому перемножение суммарной эпюры на единичную можно заменить перемножением составляющих суммарной эпюры (рис. 12,в,ж) на единичную (рис. 13,в) с последующим суммированием результатов.

Угол поворота сечения в точке А (рис. 12) оказался равным нулю, что соответствует действительности, т.к. углы поворота защемлениях отсутствуют.

3.2.а.3. Пример расчёта статически неопределимых рам.

Пример I. Для рамы, изображённой на фиг. 14,а требуется раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру изгибающих моментов. Моменты инерции стоек рамы и её горизонтального элемента (ригеля) различны и показаны на чертеже. Число неизвестных опорных реакций, рассматриваемой рамы, равно пяти, так что две из них являются «лишними».

Основная и эквивалентная системы, а так же эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от лишних неизвестных Х₁ и Х₂ = 1 показаны на фиг. 14,б,в,г,д,е.

Канонические уравнения метода сил имеют вид:

Фиг. 14

Коэффициенты этих уравнений вычислим по формуле Верещагина:

Подставим найденные значения коэффициентов в систему канонических уравнений и решим последнюю.