Основы матричной алгебры. Матрицы, основные определения. Элементарная алгебра матриц. Элементарная алгебра матриц

Основы матричной алгебры

1)  Матрицы, основные определения

2)  Элементарная алгебра матриц

3)  Определители и их свойства

4)  Обратные матрицы

1) Матрицы, основные определения

I Определения

Совокупность элементов a_ij , расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называют матрицей размера m n× и обозначают:

⎛a11 ⎜ A=⎜ ... ⎜am1 ⎝	... ... ...	a1n ⎞ ⎟ ... ⎟ amn ⎟⎠mn
	i =1,2,...,m

A a= ( ij )mn где                     

j =1,2,...,n

Положение элементов определяется двойным индексом. Первый (i) - номер строки, второй ( )j - номер столбца.

Элементами матрицы обычно являются действительные или комплексные числа, векторы, многочлены, дифференциалы или другие матрицы.

Если элементы строк матрицы расставить в столбцы, а столбцов – в строки, то получим матрицу, называемую транспонированной к исходной. Транспонированная матрица обозначается: A^T ( )ji .

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, из одного столбца – матрицей-столбцом.

Матрица размером m n× , все элементы которой  равны нолю, называется нулевой и обозначается нолём.

Матрица размером n n× , называется квадратной матрицей порядка n.

Квадратная матрица называется:

-  симметричной если A^T = A - кососимметричной если A^T = −A

-  верхнетреугольной если a_ij =0 при i > j

-  нижнетреугольной если a_ij =0 при i < j

-  скалярной если a_ij =0 при i ≠ j и a = const при i = j

-  диагональной если a_ij =0 при i ≠ j и a ≠ const при i = j

-  единичной если a_ij =0 при i ≠ j и a_ij =1 при i = j , такая матрица обозначается как E = (δ_ij )

⎧0,i ≠ j

δ - символ Кронекера, δ =

_{ij                                                                   ij}        ⎩⎨1,i = j

Элементы a_ii , лежащие на диагонали из левого верхнего угла матрицы к правому нижнему – главные диагональные элементы, их сумма – след (шпор, трасса) матрицы (обозначается соответственно SpA или TrA ).

n

SpA = TrA =∑a_ii

i=1

Каждой матрице можно поставить в соответствие некоторое действительное число A , называемое нормой матрицы.

Выделяют:

-  m-норму A m =max_i ∑a_ij

j

-  l-норму A l = max _j ∑a_ij

i

-  k-норму A =∑a_ij² (эвклидова норма ^A E = ^A k )

k

i j,

⎛ 2 ⎜ П. - A = ⎜ 1	2 −1	3⎞ ⎟ 0⎟

⎜⎝−1    2    1⎟⎠

A m = (7,2,4)= 7

A l = (4,5,4)= 5

A    =   25 = 5

k

Две матрицы A a⁼ ( _ij ⁾mn и B ⁼ (b_ij ⁾pq равны, если они имеют одинаковые размеры и все их соответствующие элементы равны ( A = B если m = p , n = q , a_ij = b_ij при ∀i и

∀j ).

Неравенство   A < B означает что a_ij < b_ij . Это неравенство имеет смысл только при равенстве размеров матриц.

2) Элементарная алгебра матриц

I Операции сложения, вычитания и умножения на число

О. – Суммой двух прямоугольных матриц одинакового размера называют матрицу, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых.

О. – Произведением матрицына число неравное нолю или числа на матрицу, называют матрицу, все элементы которой получены умножением элементов первой матрицы на число.

Свойства операций сложения и умножения на число:

1)  A+ + = + +(B      C) (A  B) C (ассоциативный закон)

2)  A + B = B + A (коммутативный закон)

3)  A+ 0 = 0+ A = A

4)  1⋅ A = A 5) 0⋅ A = 0

6)  − = −A           ( 1)A

7)  A+ −( A)= 0

8)  (α+β)A =αA+βA

9)  α(βA)=αβ(A)

10)  (A+ B)^T = A^T + B^T

11)  если A - квадратная матрица порядка n а det A - её определитель (детерминант) то det(α αA) = ⁿ det A

О. – Разность A − B двух прямоугольных матриц одинакового размера определяется аналогично их сумме ( A+(−1)B).

II Умножение матриц

Произведением двух прямоугольных матриц A a⁼ ( _ij ⁾mn и B ⁼ (b_ij ⁾np называют

матрицу C = (cij )mp , в которой:
k cij = a bi1 1j + a bi2 2 j + +... a bin nj =∑a bik kj i=1 где i =1,2,...,m и j =1,2,..., p	(1)

Элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B .

З. – Операция умножения матриц выполнима только если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго (m× n n⋅        × p = m× p ).

⎛1     2⎞⎛ 1      1⎞    ⎛−5    3⎞

П. – ⎜⎜⎝3 ₄⎟⎟⎠⎜⎜⎝−_{3 1}⎠⎟⎟ = ⎜⎝⎜−_{9 7}⎟⎟⎠

⎛ 1      1⎞⎛1     2⎞    ⎛4      6 ⎞

⎜⎜⎝−_{3 1}⎟⎟⎠⎜⎜⎝_{3 4}⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝₀ − ₂⎟⎟⎠

Свойства произведения матриц:

1)  A BC(      )= (AB C) если AB и (AB C) имеют смысл

2)  AB ≠ BA

3)  α(AB)= A(αB)

4)  (A+ B C) = AC + BC но C A( + B)= CA+CB (дистрибутивный закон) 5) при A ≠ 0 и B ≠ 0 может быть AB = 0

⎛ 2     2      2 ⎞

⎜                 ⎟

⎛5    2   − 2    3⎞⎜−1    3    − 5⎟    ⎛0    0    0⎞

⎜⎜⎝9   2    −3   4⎟⎟⎠⎜_⎜16   8  24 ⎟⎟ = ⎝⎜⎜0  0   0⎟⎟⎠

^⎜⎝ 8     0    16 ⎟⎠

если AB = 0 и A ≠ 0 то не обязательно B = 0 если AB = AD и A ≠ 0 то не обязательно B = D

6)  существует нейтральная квадратная единичная матрица E

AE = EA = A

Amn En = E Am mn = Amn

7)  для квадратных матриц одного порядка: det(AB)= det Adet B

8)  (AB)^T = B A^{T                 T}

3) Определители и их свойства

I Основные определения

Рассмотрим квадратную матрицу A_n , элементы которой – действительные или комплексные числа.

О. – Определителем n-го порядка квадратной матрицы A_n называется алгебраическая сумма произведений элементов взятых по одному из каждой строки и столбца матрицы A_n .

n

det An = ∑(−1)Z p( )a a1i1 ⋅ 2i2 ⋅...⋅anin                                                       (2)

i=1  

(−1)^{Z p( )} определяется числом Z p( ) - инверсией подстановки P_n .

О. – Подстановкой n-й степени называют взаимнооднозначное отображение конечного упорядоченного множества натуральных чисел ( N ={1,2,3,...,n}) на себя. Если при этом при этом отображаемый элемент i_k отображается в i _j , то i _j пишут ниже i_k .

Подстановку n-й степени можно записать в виде матрицы из двух строк:

⎛1     2     3    ...    n ⎞

Pn =⎜⎜⎝i1      i2       i3       ...   in ⎟⎟⎠

где {i₁,...,i_n } {= 1,...,n}

Элементы верхней строки обычно пишут в естественном порядке. Элементы строки подстановки образуют инверсию если больший