Топологический метод составления уравнений. Источники напряжения и тока и их графы. Закон Кирхгофа для токов

                    ЛАБОРАТОРНАЯ    РАБОТА N5

           ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

1.Цель работы:получить навык в описании топологии схем при помощи матрицы инциденций и расчете схем топологическим методом.

2.Основные теоретические сведения

Топологический метод формирования уравнений основан на теории графов. Для описания топологии цепи заменим каждый двухполюсный элемент отрезком линии, называемом ветвью графа. Присвоим некоторые номера всем узлам схемы и те же самые номера точкам соединения ветвей.

При составлении сигнального графа заменяем произвольный двухполюсный элемент ветвью графа. Каждая ветвь имеет направление и для любой ветви, за исключением источников, совпадает с направлением протекающего через элемент тока. Поскольку потенциал узлов до решения системы уравнений неизвестны, направление токов ветвей соответствующих пассивных элементов выбирается полностью произвольно.

Для источника тока направление протекающего тока очевидно. Для источника ЭДС примем направление ветви графа от положительного полюса источника к отрицательному (рис.5.1).          

          

Рис.5.1. Источники напряжения и тока и их графы.

Рассмотрим направленный граф некоторой схемы, приведенный на рис.5.2.

 

Ðèñ.5.2.Íàïðàâëåííûé ãðàô ïðîñòîé ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû.

Запишем закон Кирхгофа для токов; ток вытекающий из узла будем считать положительным.

Для узла 1:     i1 + i4 + i6 = 0

Для узла 2:     i2 - i4 + i5 = 0

Для узла 3:     i3 - i5 - i6 = 0

Эти выражения можно переписать в матричной форме: А·i = 0.

Матрица А называется матрицей инциденций и для данного узла имеет вид:

Óçëîâûå ïîòåíöèàëû òàêæå ñâÿçàíû ÷åðåç ìàòðèöó èíöèäåíöèé. Ïóñòü U_ni - ïîòåíöèàë i-ãî óçëà ïî îòíîøåíèþ ê íóëåâîìó. Íàïðÿæåíèå, ê ïðèìåðó, 4-é âåòâè (ðèñ.5.2) çàïèøåòñÿ:

Òîãäà äëÿ âñåõ âåòâåé:

ò

èëè   U_b = À ·U_n

Эти выражения - обобщенный закон Кирхгофа для напряжений. Будем считать, что все источники ЭДС в схеме преобразованы в эквивалентные источники тока. В уравнениях для узловых потенциалов каждый пассивный элемент описывается с помощью соотношения: y · u  = i

В общем случае для каждого элемента в схеме можно записать в матричной форме:

                    Y_b ·U_b = I_b,                                (5.1)

ãäå Y_b - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé;

U_b,I_b - âåêòîðû íàïðÿæåíèé è òîêîâ âåòâåé.

Ðàññìîòðèì öåïü è åå íàïðàâëåííûé ãðàô(ðèñ.5.3).

 

а)                                б)   

Ðèñ.5.3.  à) ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü   б) ее направленный граф

Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äëÿ óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

Y_b                           ·            U_b      =    I_b

 

Ñîñòàâèì ìàòðèöó èíöèäåíöèé. Ïðè÷åì çàïèøåì ñíà÷àëà ïàññèâíûå ýëåìåíòû, à çàòåì - èñòî÷íèêè òîêà.

 

При такой записи, т.е. когда независимые источники включены в матрицу инциденций, матрица называется дополненной, состоящей из двух подматриц. Запишем обобщенный закон Кирхгофа для дополненной матрицы:

                     À_ä ·I = 0 ,                                                      (5.2)

 

или в матричной форме:

где J_b - вектор независимых источников тока. Перемножим их:

À · I_b + À_j · J_b = 0, èëè

                À  · I_b = - À_j · J_b                                                  (5.3)

Подставим  (5.1) в (5.3):

А · Y_b · U_в = - А_j  · J_b                                                                                                                                                                                                                                         (5.4)

Запишем обобщенный закон Кирхгофа для напряжений с использованием дополненной матрицы инциденций:

U = А_д^Т  · U_n ,

 

или в матричной форме:

или                                                                                                                                                               U_b = А^Т · U_n                                                                                                                                                                                                                                                                              (5.5)

U_j = А_j^Т· U_n                                                                                                                                                                                                                                                  (5.6)

Подставим (5.5) в (5.4) :

А · Y_b · А^Т · U_n = - А_j · J_b                                                                                                                                                                                                                                   (5.7)

Выражение (5.7) - основное расчетное уравнение по топологическому методу узловых потенциалов.

Узловые потенциалы соответственно расчитываются по формуле:

U_n = (А · Y_b · А  ) · ( - А_j · J_b )                                                (5.8)

Напряжения на источниках тока и на пасивных элементах можно найти с помощью (5.5) и (5.6). Токи через пассивные элементы находятся с помощью (5.1).

3.Порядок выполнения работы.

3.1.Для схемы, выданной преподавателем, составить направленный граф схемы.

3.2.Составить матрицы, необходимые для расчета схемы на ЭВМ топологическим методом.

3.3. Рассчитать узловые потенциалы и токи в ветвях.

3.4. Сделать проверку согласно выражению (5.3).

4.Контрольные вопросы

4.1. Как выбирается направление ветвей графа соответствующих пассивным элементам?

4.2. Как выбирается направление ветвей графа соответствующих источникам тока и напряжения?

4.3. Что представляет собой матрица инциденций?

4.4. Как выглядит выражение закона Кирхгофа для токов с использованием