Табличный метод формирования уравнений цепей. Уравнения Кирхгофа для тока и напряжения. Простая цепь и ее направленный граф

Страницы работы

Фрагмент текста работы

                          ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6.

ТАБЛИЧНЫЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЦЕПЕЙ

1.Цель работы:получить навык при составлении уравнений табличным методом.

2.Основные теоретические сведения

Табличный метод - наиболее общий метод составления уравнений цепи. В нем все уравнения, описывающие цепь, включены в общую систему уравнений,содержащую:

1) уравнения Кирхгофа для тока

2) уравнения Кирхгофа для напряжения

3) компонентные уравнения

Рассмотрим схему, содержащую b ветвей, n+1 узел и элементы R, G, L и C, а также источники тока и напряжения. Топология схемы описывается матрицей инциденций. Обобщенный закон Кирхгофа для токов и напряжений запишется в виде:

А · Iв = 0                                                                                                                                                                                                                                                                                                           (6.1)

UвТ - А · Un = 0                                                                                                                                                                                                                                           (6.2)

В самом общем случае уравнения, описывающие элементы цепи, можно представить в следующей форме:

 
     где Y1 и Z1 - проводимость и импеданс соответственно;

К1 и К2 - безразмерные константы;

Wв1 и Wв2 - токи и напряжения независимых источников, учитывающие влияние начальных условий на конденсаторах и катушках индуктивности.

Для компактности будем использовать следующую форму записи:

Yв · Uв + Zв · Iв = Wв                                                                                                                                                                                                                                           (6.3)

В табл. 6.1 представлены значения Yв, Zв и Wв для различных типов двухполюсных элементов.

Таблица 6.1.

Элемент

Компонентное уравнение

YВ

ZВ

WВ

1.Резистор

UВ - RВ * IВ =  0   

1

- RВ

0

2.Проводник

GВ UB-IB = 0

GВ

-1

0

3.Конденсатор

pCB UВ - IВ = CB U0

pCB

-1

CB U0

4.Катушка индуктивности

UВ - pLВ  IВ = -LВ I0

1

-pLB

-LВ I0

5.Источник тока

IB = JB

0

1

JB

6.Источник напряжения

UB = EB

1

0

EB

В таблице U0 и I0 - начальные условия - напряжение на конденсаторе и ток через катушку.

Уравнения (6.1), (6.2) и (6.3) можно записать в следующей последовательности:

UвТ - А · Un = 0

Yв  ·  Uв + Zв  ·  Iв = Wв

А  ·  Iв = 0

и представить в матричной форме:

 

(6.4)

или в общем виде:                  Т  ·  X = W

В табличном методе нет никаких оснований различать источники и пассивные элементы - они вносятся в матрицу одинаково. Нумерация элементов может быть произвольной.

Запишем табличные уравнения для цепи, показанной на рис.6.1.

 


 

               

G4

 
 


Рис.6.1 Простая цепь и ее направленный граф

В этом примере намеренно введены элементы R и G для того, чтобы наглядно показать разницу в описании каждого элемента.

Матрица инциденций для этой цепи имеет вид:

 
                       

В результате табличные уравнения принимают вид:

 
 


 
                        

Если в начальный момент времени на конденсаторе есть напря-жение U0 плюс которого приложен к узлу 1, а минус - к узлу 2, то седьмой элемент вектора в правой части равенства будет равен С3·U0.

Рассмотрим как вносится в граф 4х-полюсник.В графе каждая паразажимов 4х-полюсника представ-ляется двумя направленными отрезками (рис. 6.2). Соответственно, записываются два компонентных уравнения, приведенные в таб.2 в матричной форме для некоторых идеальных 4х-полюсников.

 

 
    

Рис.6.2.Четырехполюсник и его направленный граф.


Таблица 6.2. Компонентные уравнения идеальных 4х-полюсников.

4х-полюсник

Условное обозначение

Компонентные уравнения

1.ИТУН

2.ИНУН

3.ИНУТ

4.ИТУТ

5.ОУ

6.Трансформатор

« - » - для согластного

Запишем матрицу инциденций и компонентные уравнения в матричной  форме для цепи, изображенной на рис.6.2.

 
            

Рис. 6.2. Активная цепь с ИНУН

Составим направленный граф для данной схемы (рис. 6.3).

 
                   

Рис.6.3. Направленный граф активной цепи.

Ветвь 6 соответствует входным, а 7 - выходным зажимам УНИН. Матрица инциденций будет иметь вид:

1     2       3       4       5      6      7

 
                 

1

А= 2

3

4

Запишем компонентные уравнения для каждой ветви графа в виде

Похожие материалы

Информация о работе