Основы символического (комплексного) метода расчета. Операции с комплексными числами. Комплексное мгновенное значение

Основысимволического (комплексного) методарасчета. Изображениесинусоиды, еепроизводной иинтеграланакомплекснойплоскости.

Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока iзаменяют комплексной амплитудой тока Im; мгновенное значение напряжения на, резисторе сопротивлением R, равное Ri, — комплексом RI_т, по фазе совпадающим с током I_т; мгновенное значе-ние напряжения на индуктивной катушке u_L= Ldi/dtкомплексом, опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе— комплексом . отстающим от тока на 90°; мгновенное значение ЭДС е — комплексом Справедливость замены  

1 Операциискомплекснымичислами

Вектор А на комплексной плоскости может быть задан в алгебраической форме его проекциями а и b на вещественную и мнимую оси, либо в показательной - величиной модуля А и углом пси, отсчитываемого от оси +1: против часовой стрелки пси > 0, по часовой стрелке пси < 0 (рис. 3).

В обозначениях величин (рис. 3) принято А и а - положительные числа (А - длина вектора А); а, b, пси - алгебраические.

Переход от алгебраической формы записи к показательной осуществляется по соотношениям

Порядок расчета комплексных чисел на калькуляторах зависит от типа калькулятора. Однако во всех случаях непосредственно показанный калькулятором угол а, найденный по формуле (1.9), может быть отличен от истинного значения пси. Этот угол а есть угол между вектором А и ближайшим к нему направлением горизонтальной оси, т. е., а  < 90°. Записьуглов пси по четвертям показана на рис. 3. Рекомендуется при расчете комплексных чисел пользоваться качественными построениями (рис. 3).

В современных микрокалькуляторах для инженерных расчетов предусмотрены программы расчета комплексных чисел. Описания программ приводятся в описании к калькулятору.

Изображениесинусоиды, еепроизводной иинтеграланакомплекснойплоскости

Мгновенное значение тока i будем называть оригиналом тока:

Изображениесинусоиды на комплексной плоскости есть комплексное мгновенное значение

- комплексная амплитуда.

Комплексное мгновенное значение — это вектор (рис. 4), вращающийся против часовой стрелки с угловой частотой со.

Комплексная амплитуда I_m - это значение i в момент времени t = 0 (неподвижный вектор). Перепишем формулу (1.10) в алгебраической форме:

Следовательно, оригинал тока i есть проекция вектора i на ось мнимых величин:

В расчетах используют в качестве изображения синусоиды на комплексной плоскости комплексную амплитуду I_m или комплекс действующего значения

Резистивный элемент в цепи синусоидального тока.

Резистивный элемент — это идеализированный схемный элемент, учитывающий выделение теплоты в том или ином элементе реальной электрической цепи. Его характеризуют зависимостью напряжения u на нем от протекающего по нему тока  i (вольтамперной характеристикой) или сопротивлением R=u/i. На схемах его изображают, как и резистор, в виде прямоугольника (рис. 3.5, а).

 Положительные направления отсчета и и iсовпадают.

Пусть i=Imsin(омегаt) По закону  Ома:

Векторная диаграмма комплекса тока I и совпадающего с ним по фазе комплекса напряжения Uпоказана на рис. 3.5, б.

На рис. 3.5, в даны кривые мгновенных значений тока i, напряжения u и мощности

Мгновенная мощность р имеет постоянную составляющую UmIm/2 и составляющую  , изменяющуюся с частотой 2 омега.

Потребляемая от источника питания за время dt энергия равна

Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

Индуктивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС, изменяющимся во времени магнитным потоком, и явление накопления энергии в магнитном поле реальных элементов электрической цепи. Его характеризуют зависимостью потокосцепления пси от тока i(вебер-амперной характеристикой) или индуктивностью L =пси/ i. На электрических схемах индуктивный элемент изображают, как показано на рис. 3,6, а. На схеме замещения реальную индуктивную катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивного и резистивного элементов.

Выделим индуктивный элемент (рис. 3.6, а). Положительные направления тока /через него, ЭДС самоиндукции