Количественные характеристики надежности восстанавливаемых систем, один элемент. Задача о запасных элементах

Вопрос 4. Количественные характеристики надежности восстанавливаемых систем, один элемент

    Задача о запасных элементах

Пусть система состоит из 1 элемента

Запасных элементов n

3 элемента в запасе, 3 хватит на время t?

Найти вероятность того, что число отказов ≤ N

 

По условию поток простейший, значит, используем формулу Пуассона

 

(  )

∑ {                  (   )}     ∑

(  )        (       )        

 (  )         (  ) 

 (  )         (  )  { ⏟      }           (       )     

Построим график вероятности P(t) когда =2 (1/час), N=6, T=5 часов

                                                                                                  

                                                                            С вероятностью.. хватит 2 часа                                           

- загрузка рем бригада     ,      

нет времени!!!!

Ищем функцию готовности (g(t))  – система в рабочем состоянии

Перечислим все возможные состояния в котором может находиться система

Состояние элемента	Состояние системы	Описание
1 (работает)	1	Элемент работает, система работает
0 (отказ)	0	Элемент отказал, система отказала, идет восстановление

Нарисуем граф состояний

Возьмем маленький промежуток времени ∆t,     G(t) -  формула готовности, по формуле пуассона см выше

 

напишем уравнение равновесия (Колмогорова) для каждого состояния

P(A)=p(A/B_i)p(B_i)+.. по формуле полной вероятности

Делим на ∆t и к ∞

 

Получили систему диф уравнений с двумя неизвестными. Существует стандарный метод решения p₀(0)=0, p₁(0)=1 (в нуле никогда не отказывает и всегда работает)

Переходим от p(t) b p’(t) к изображениям через операционное счисление. Для того чтобы перейти от исходной функции (станд инт приведены в справочниках) к изображению, берем интеграл. 

                                               

Перешли к линейным уравнениям

 

Корн, Корн справочник по математике - раздел – «операционное счисление» → по нему переход к оригиналу (через интеграл)

Замечание 1.  P1(t)-функция готовности g(t) – это показатель надежности работы. При t к беск, t стремится к асимптотич значению /(+)-коэффициент готовности

 

Предельное (стационарное) значение  при t → ∞

 

Задаем требование по надежности  или функция готовности, значение должно быть выше точки 

Сравним систему без восстановления с системой  с восстановлениями 

•  Старое - Без восст

•  восстанавливающиеся

o  μ→∞

 

o  μ→0 должны получить формулу без восст (частный случай- система без восст)