Криволинейные системы координат. Математическое моделирование движения сплошной среды. Индивидуальная, локальная и конвективная производная

Страницы работы

Фрагмент текста работы

ЛЕКЦИИ

ПО

МАТЕМАТИЧЕСКИМ

МОДЕЛЯМ

В

ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

СОДЕРЖАНИЕ

1.  Криволинейные системы координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    4

2.  Математическое моделирование движения сплошной среды. . . . . . . .       6

2.1.  Заданиедвижениясплошныхсред. ПеременныеЛагранжаиЭй-

                                                                лера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         8

2.2.  О скалярных и векторных полях. . . . . . . . . . . . . . . . . . .             9

2.3.  Индивидуальная, локальная и конвективная производная. . . . .  9

2.4.  О тензоре деформаций и тензоре скоростей деформаций. . . . . .               10

2.5.  Уравнение неразрывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6.  Массовые и поверхностные силы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .          11

2.7.  Тензор напряжений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      12

2.8.  Уравнение движения сплошной среды.      . . . . . . . . . . . . . . .              12

3.  Модели гидродинамики идеальной жидкости. . . . . . . . . . . . . . . .       13

3.1.  Понятие идеальной жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            13

3.2.  Уравнение движения идеальной жидкости. . . . . . . . . . . . . .               13

3.3.  Уравнение Громеки-Ламбе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              14

4.  Интегралы уравнений движения.        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              15

4.1.  Интеграл Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        15

4.2.  Интеграл Лагранжа-Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16

4.3.  Интеграл Бернулли-Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.  Математическая модель потенциального движения идеальной несжи-

                                              маемой жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    18

5.1.  Уравнение потенциального движения идеальной несжимаемой

                                                              жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    18

5.2.  Функция тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              18

5.3.  Комплексный потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  19

5.4.  Комплексная скорость.           . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          19

5.5.  Обтекание цилиндра поступательным потоком. . . . . . . . . . .            20

5.6.  Стационарное обтекание сферы потоком идеальной несжимае-

                                                            мой жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                  23

6.  Модели гидродинамики вязкой жидкости.   . . . . . . . . . . . . . . . . .          26

6.1.  Уравнение движения вязкой жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2.    Начальные и граничные условия.

                                                Об изучении движения вязкой жидкости. . . . . . . . . . . . . . .      27

6.3.  Уравнение движения в безразмерных величинах. Числа подобия.         28

6.4.  Ламинарные и турбулентные течения.        . . . . . . . . . . . . . . .              30

6.5.  Течение Куэтта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            30

6.6.  Течение Пуазеля в цилиндрической трубе. . . . . . . . . . . . . . 31

7.  Элементы теории пограничного слоя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.1.  Понятие пограничного слоя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2.  Уравнения движения вязкой жидкости в пограничном слое. . . . 33

7.3.  Постановка задачи о течении в пограничном слое.            . . . . . . . .              35

8.  Модели теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           36

8.1.  Обобщенный закон Гука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    36

8.2.  Уравнения теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              38

8.3.  Уравнение Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          39

8.4.  Граничные и начальные условия. . . . . . . . . . . . . . . . . . .           39

9.  Математическая модель статики упругого тела. . . . . . . . . . . . . . .        40

9.1.  Задача статики упругого тела в смещениях. . . . . . . . . . . . .   41

9.2.  Задача статики упругого тела в напряжении. . . . . . . . . . . .  41

10.  Плоские задачи упругого равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.1.  Решение задачи упругого равновесия тонкой пластины. . . . . .     44

11.  Математические модели волновых процессов. . . . . . . . . . . . . . . .       44

11.1.  Математическая модель распространения звука. . . . . . . . . .            44

11.2.  Решение задач рассеивания звука на сфере. . . . . . . . . . . . . 46

11.3.  Математическая модель распространения звуковых волн в вяз-

                                   кой жидкости.                             . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                48

11.4.  Математическая модель распространения упругих волн. . . . . .    51

11.5.  Математическаямодельраспространенияэлектромагнитныхволн. 53

1. Криволинейные системы координат.

При проведении математического моделирования и последующего математического решения задач важное значение имеет правильный выбор системы координат. От удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий и т.п.

Положение математической точки в пространстве трех измерений можно определять как заданием трех ее декартовых координат (x,y,z) или радиус-вектора r¯ с проекциями x,y,z, так и любой другой тройкой чисел q1,q2,q3 — криволинейных координат, связанныхвзаимно-однозначнымфункциональнымсоответствиемскоординатами (x,y,z):

= x(q1,q2,q3),

= y(q1,q2,q3),     (1) z = z(q1,q2,q3)

или эквивалентным векторным соотношением:

r¯ = ¯r(q1,q2,q3).

Изменяя только одну из криволинейных координат и сохраняя постоянными остальные две, получим в трехмерном пространстве некоторую кривую, называемую координатной линией. Координатную линию будем обозначать:

                                                                            (qi)            i = 1,2,3.

Через точку M проведем три координатные линии (q1),(q2),(q3). Если в точке M проведем касательные к координатным линиям в сторону возрастания отдельных координат, тополучимкоординатныеоси. Орты (единичныевекторы) координатных осей будут равны:

.

Если в каждой точке M пространства, координатные оси попарно ортогональны, то имеем ортогональную криволинейную систему координат. На практике ортогональные координаты применяются наиболее часто. Введем в рассмотрение так называемые коэффициенты Ламе — Hqi.

.

Дифференциал дуги координатной линии:

.

В ортогональной системе координат дифференциал dS произвольно ориентированнойдуги, складываетсяиздифференциаловдугкоординатныхлинийпоправилу:

.

Введем в рассмотрение координатные поверхности и касательные к ним координатные плоскости. Координатные поверхности будем обозначать [qi]. Уравнение координатной поверхности [qi] получим из (1), если будем считать постоянной координату qi и переменными остальные две координаты.

В случае ортогональной системы координат через каждую точку пространства M можно провести три координатные поверхности и три взаимно перпендикулярные координатные плоскости. Каждая координатная ось будет перпендикулярной к соответствующей ей координатной поверхности. Попарным перемножением дифференциаловдугкоординатныхлинийполучимэлементарныекоординатныеплощадки:

1 = dSq2 · dSq3 = Hq2Hq3dq2dq3; 2 = dSq1 · dSq3 = Hq1Hq3dq1dq3; 3 = dSq1 · dSq2 = Hq1Hq2dq1dq2.

Выражение для элемента объема имеет вид:

= dSq1dSq2dSq3 = Hq1Hq2Hq3 · dq1dq2dq3.

Запишем основные операции теории поля в криволинейных координатах

grad;

               div ¯ ;

rot¯

;

u = divgradu.

Заметим, что

∆¯u = graddiv ¯u − rotrot ¯u.

При решении задач следует выбирать такую систему координат, в которой одна из координатных поверхностей совпадает с формой рассматриваемого тела или с формой рассматриваемой области.

В качестве примера рассмотрим цилиндрическую и сферическую системы координат.

Цилиндрическая система координат — ρ,ϕ,z:

0 ≤ ρ < ,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

−∞ < z < .

Связь цилиндрической системы координат с декартовыми.

= ρcosϕ,



= ρsinϕ, z = z.

Определим коэффициенты Ламэ:

,

[ρ] — цилиндрическая поверхность; [ϕ] — полуплоскость; [z] — плоскость.

Сферическая система координат — r,θ,ϕ:

[r] — сфера;

[θ] — конус;

[ϕ] — полуплоскость.

2. Математическоемоделированиедвижениясплошной среды.

Механика сплошной среды изучает движение газообразных, жидких и твердых деформированныхтел. Есливтеоретическоймеханикеизучаетсядвижениематериальнойточки, дискретнойсистемыматематическихточекиабсолютнотвердоготела, то вмеханикесплошнойсредырассматриваетсядвижениетакихматериальныхтел, которыезаполняютпространствонепрерывно, сплошнымобразом, ирасстояниемежду точкамикоторыхвовремядвиженияменяется. Теоретическоерешениетехилииных проблеммеханикисплошнойсреды имееточеньбольшое практическое значение, так как позволяет целесообразно проектировать механические конструкции (самолеты, балочные конструкции и др.) и заранее планировать эксплуатационные характеристики объектов.

В настоящее время условно механику сплошной среды можно разделить на две крупные области:

– механика жидкостей и газов (гидродинамика); – механика твердых деформируемых сред.

Гидродинамика включает следующие основные разделы:

механика идеальной жидкости; механика вязкой жидкости; механика турбулентных течений; аэродинамика; механика фильтрационных течений.

Механика деформируемых твердых тел имеет следующие основные разделы:

теория упругости; теория пластичности; механика сыпучих тел;

В механике сплошной среды рассматриваются математические методы изучения материальных объектов, устанавливаются общие свойства и законы движения тел. Как правило, даже в простейших случаях математически сформулированные

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
349 Kb
Скачали:
0