Исследование кинематики рычажных механизмов аналитическим методом. Метод замкнутых векторных контуров

Направление вектора при этом можно выбирать произвольно, но целесообразно его принимать исходящим из неподвижных точек, если они имеются в структуре механизма. В общем случае уравнение замкнутости контура выглядит следующим образом:

n

∑l_i = 0,   (1) i=1

где  ^l_i – вектор, соответствующий i-ому звену, входящему в рассматриваемый контур;

n – число векторов, входящих в контур.

При составлении уравнения замкнутости можно произвольно выбирать направление обхода контура, но в уравнении (1) вектор ^l_i записывается со знаком "+", если его направление совпадает с направлением обхода, и со знаком "–", если оно противоположно. Структурный и геометрический синтез механизмов на основе обобщённых структурных модулей подробно изложен в лекции. Далее изложены алгоритмы определения кинематических параметров для обобщенных структурных модулей при частных значениях некоторых параметров и приведены примеры решения для конкретных рычажных механизмов: привода конвейера и долбёжного станка.

2. Условный механизм первого класса

В большинстве механизмов входными звеньями, определяющими движение остальных, являются звенья, совершающие вращательное движение относительно неподвижной точки. Частный случай условного обобщенного модуля такой группы представлен на рис. 19. Согласно классификации Ассура – Артоболевского эта группа звеньев называется условным механизмом первого класса с вращательным движением входного звена. Обозначим его – ^I₁(0, 1), где в круглых скобках обозначены номера звеньев: 0 – стойка, 1 – кривошип. На рис. 1 это звено S₁AB. Для составления уравнений           необходимо          выбрать произвольно    систему           координат хOу. Уравнение замкнутости векторного контура OABO для опреде            ления параметров точки B обобщенного структурного модуля I₁(0, 1) (рис. 19) с учётом уравнения (27) будет иметь вид:

r_A + l₁ − r_B = 0 (2) или (в проекциях на оси Ox и Oy):

 x _B = x _A + l₁ ⋅ cos ϕ ₁ ,

                                                      y _B = y _A + l₁ ⋅ sin ϕ₁.                                                                                             (3)

Для определения аналогов линейных скоростей и ускорений точки B необходимо продифференцировать по параметру ^ϕ₁ уравнения системы (3).

Проекции на оси Oх и Oу аналогов скорости и ускорения точки B опишутся уравнениями:

Vϕ_Bx = −l₁ ⋅sin ϕ₁,

VϕBy = l1 ⋅cos ϕ1;                                                                                               (4)

aϕ_Bx = −l₁⋅cosϕ₁,

^aϕBy = −l₁⋅sinϕ₁.                                                                 (5)

Кинематические параметры центра масс S₁ определяются по тем же уравнениям, что и для точки B, но для контура OAS₁O, т. е. в уравнениях (3–5) следует заменить индекс B на S₁, длину ^l₁ на ^c₁, угол ϕ₁ на угол (ϕ₁ + µ₁). Получим уравнения:

r_A + c₁ + r_S1 = 0;                                                                                                     (6)

x_S1 = x_A +c₁⋅cos (ϕ₁ +µ₁),

yS1 = yA + c1⋅sin (ϕ1 +µ1);                                               (7)

Vϕ_S1x = −c₁ ⋅sin (ϕ₁ + µ₁),

                                                 ^VϕS₂y = –c1 ⋅cos (ϕ1 + µ1);                                                    (8)

a_ϕS1x = −c₁⋅cos (ϕ₁ +µ₁),

^^aϕS₁y = −c₁⋅sin (ϕ₁ +µ₁).                                                  (9)

В случае поступательно движущегося входного звена I₂ (0, 1) (рис. 20) для входной точки B должны быть заданы ее координаты, аналоги скоростей и ускорений в проекциях на оси Ox и Oy в любой момент исследуемого отрезка времени или пути. Аналоги скоростей и ускорений точки S₁ и точки B одинаковы, а координаты центра масс можно определить по уравнениям:

x_S1 = x_B + c₁⋅cos(µ₁ +µ₀),

yS1 = yB +c1⋅sin(µ1 +µ0).                                                                                          (10)

Рис. 2

4.  

2. Обобщённый модуль второго класса второго вида

Обобщенный модуль этой группы (упрощённый вариант без дополнительных точек), используемый для вывода алгоритмов, представлен на рис. 2. Точка C находится на пересечении линии звена DC и направляющей, по которой перемещается ползун. Уравнение замкнутости контура OBDCO: 

                                                                                                                r_B + l₂ −l₃ − r_C = 0.           (11)

В проекциях на оси Ox и Oy:

^xyC_C == xyB_B ++ll2₂⋅⋅cossin jj ₂2 −−ll₃3 ⋅⋅sincosjj ₃3,, (12)

где  ϕ₃ = µ₀ +β₃ (µ₀ – угол накло-

на направляющей ползуна CD; β₃ – угол между направляющей и вектором длины ползуна).

Кроме уравнения (12) используем уравнение связи между координатами точки С:

y_C = (x_C − x₀ )⋅tg µ₀ .                                                                                              (13)

Угол ^ϕ₂ определяется по формуле:

                                                                       − B ±    B² −4⋅ A⋅C

cosj ₂ =                                                                            (14)

2⋅ A

где  A=a² +1;  B = 2⋅a⋅b;             C = b² −1.                                                            (15)

a . (16)

Если µ₀ = 0 или µ₀ = 180º, то y_C = const, и угол ^ϕ₂ определяется из второго уравнения системы (12):

sinϕ₂ = l³ ⋅sin ϕ³ + y^C − y^B _.                               (17)

l2

При µ₀ = 90º или µ₀ = 270º ( x_C = const) угол ^ϕ₂ определяется из первого уравнения системы (12):

cosϕ₂ = l³ ⋅cosϕ³ + x^C − x^B _.                                (18)

l2

Аналоги скоростей и ускорений звена 2 и точки C можно определять по следующим зависимостям:

l2 ⋅ (sin ϕ2 ⋅ tgµ0 + cos ϕ2)

aϕCx = aϕBx − l2 ⋅εϕ2 ⋅sin ϕ2 − l2 ⋅ ωϕ22 ⋅cos ϕ2 , aϕCy = aϕBy + l2 ⋅εϕ2 ⋅cos ϕ2 − l ⋅ω2 ⋅sin ϕ2 ;      (22)

2       ϕ2

aϕCy = aϕCx ⋅tg µ₀;                                                                                            (23)

εϕ2 = a_ϕBx ⋅tg µ₀ −l a⋅_ϕ(_Bysin+ϕl2₂ ⋅⋅tgω_ϕ² µ₂0(sin+ cosϕ₂ ϕ−2cos) ϕ₂ ⋅tg µ₀)                                                                                                                                                                                          (24)

2

Кинематические параметры точек D, S₂иS₃определяются по формулам (19–24).

При частных значениях µ₀ некоторые выражения существенно упрощаются.

В случае горизонтальной направляющей (µ₀ = 0 или µ₀ = 180º):

− VϕBy

VϕCy = 0; ωϕ2 = l ⋅ cos ϕ2 ;

2

aϕCy = 0; εϕ2 = 2 ⋅⋅sincosϕϕ22− aϕBy . (25) l2 ⋅ ωϕ2

l2

Для вертикальной направляющей (µ₀= 90º или µ₀= 270º):

VϕBx

VϕCx = 0;    ωϕ2 = l ⋅sin ϕ2 ;

2

                                          = 0;     εϕ2 = − l2 ⋅ ωϕ2l2 ⋅⋅sincos ϕϕ22 + aϕBx .    (26)

aϕCx

2

Необходимо выполнить расчёты для заданного угла поворота кривошипа и сравнить с графическим методом. Результаты расчётов проверить, используя систему DINAMIC, занести