Построение графика статистической функции распределения. Вариационный ряд. Построение гистограммы наработок между отказами

Страницы работы

Фрагмент текста работы

1. Исходные данные:

Наработка до отказа имеет распределение приведенное в таблице 1. Определить гамма-процентный ресурс машины с использованием вероятностных сеток.

Таблица 1 – Наработка до отказа, ч.

429

1624

1371

292

196

645

995

1869

995

2730

1124

178

203

1393

638

894

1833

1690

921

929

1284

884

595

1719

212

614

1742

1193

133

1452

634

420

742

696

1447

1383

551

214

364

762

2. Построение графика статистической функции распределения

Удобным способом получить представление о распределении случайной величины Х является построение графика статистической функции распределения выборки (х1, … хn).

,                                                                                                                  (1)

где q – число опытов, в которых случайная величина Х принимала значения меньше х;

n – общее число произведенных опытов.

Статистический ряд перестраивается так, чтобы полученные числовые значения случайной величины располагались в возрастающем порядке (вариационный ряд).

Для возрастающего ряда эмпирическая функция распределения записывается:

 ,                                                   (2)

где i – порядковый номер опыта.

Таблица 2 – Вариационный ряд

i*

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

li

133

178

196

203

212

214

292

364

420

429

i/n

0,025

0,05

0,075

0,1

0,125

0,15

0,175

0,2

0,225

0,25

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

551

595

614

634

638

645

696

742

762

884

0,275

0,3

0,325

0,35

0,375

0,4

0,425

0,45

0,475

0,5

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

894

921

929

995

995

1124

1193

1284

1371

1383

0,525

0,55

0,575

0,6

0,625

0,65

0,675

0,7

0,725

0,75

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

1393

1447

1452

1624

1690

1719

1742

1833

1869

2730

0,775

0,8

0,825

0,85

0,875

0,9

0,925

0,95

0,975

1

3. Построение гистограммы наработок между отказами.

Другим видом обработки статистического ряда является поразрядная группировка полученных из опытов значений случайной величины. Из данных статистического ряда для непрерывных случайных величин строится гистограмма, изображающая статистическую плотность распределения. Она позволяет получить первое представление о виде распределения.

Высота разряда:

;                                                                                                                (3)

где P*i – частость;

li – длина разряда.

Частость:

,                                                                                                                (4)

где qi – число наблюдений в разряде (частота).

Длина разряда:

,                                                                                                                (5)

где  - максимальное значение случайной величины в разряде i;

 -  минимальное значение случайной величины в разряде i.

Таблица 3.

Номер разряда i

Разряд

Длина разряда li

Число наблюдений в разряде gi

Частость p*i

Высота разряда f*(xi)·10-3

от αi

до βi

1

0

400

400

8

0,2

0,5

2

400

800

400

11

0,275

0,69

3

800

1200

400

8

0,2

0,5

4

1200

2000

800

12

0,3

0,38

5

2000

2800

800

1

0,025

0,031

4. Построение графика функции распределения на вероятностной сетке.

Экспоненциальное распределение

Функция распределения случайной величины:

.                                                         (6)

Логарифмируя это выражение, получим линейную зависимость:

.                                                   (7)

Переходим к построению вероятностных шкал F(t).

На горизонтальной оси наносится равномерная шкала t с масштабным фактором Kt :

.                                                               (8)

На вертикальной оси F(t) наносятся значения –ln [1-F(t)], а надписываются значения F(t). Шкала неравномерная. Наименьшее значение F(t) равно нулю. Наибольшее значение удобно принять равным 0,999. Тогда ln (1-0,999)=6,908.

При длине вертикальной оси 150 мм,

.           (9)

Параметр распределения:

.                  (10)

Распределение Вейбула

Функция распределения случайной величины:

.                                                  (11)

Величина SFдля вертикальной шкалы длиной 150 мм определяется логарифмированием.

Примем F(t) крайние значения 0,001 и 0,999. Для этих значений размах составит 8,84  (от -6,91 до 1,93).

Числовые значения SFприведены в справочнике.

Горизонтальная шкала неравномерная и строится также, как для логарифмически нормального распределения.

Параметр b:

.                                                       (12)

Параметр а определяется точкой пересечения найденной прямой с осью t.

Графики на вероятностных сетках представлены на рисунке 3 и рисунке 4.

Полученная гистограмма наработок машины (см. рис. 2) позволяет сделать предположение о том, что наработки между случайными отказами подчиняются закону Вейбула, плотность распределения которого:

                                        (13)

где t – значение случайной величины T (наработка до отказа);

a – параметр масштаба (из графика а=990);

b – параметр формы ().

А закон распределения будет иметь вид:

                                                   (14)

Вероятность попадания случайной величины в i – й разряд:

              (15)

Подставляя в последнюю формулу а=990 ; b=1,8 и значения αi и βiдля каждого разряда из таблицы 3, получим теоретические значения pi , приведенные в таблице 4.

Таблица 4.- Теоретические значения вероятностей.

Номер разряда, i

Середина разряда,

Теор. вероятность, pi

1

200

1-0,823

0,177

0,003

2

600

0,823-0,508

0,315

0,005

3

1000

0,508-0,246

0,262

0,015

4

1600

0,246-0,029

0,217

0,032

5

2400

0,029-0,0016

0,0274

0,0002

Критерий Пирсона:

;                                         (16)

.

Распределение χ2 зависит от параметра r, называемого числом степеней свободы.

r=k-(ψ+1)                                                              (17)

где k – число разрядов статистического ряда (k=5);

ψ – число параметров предполагаемого распределения (ψ=0).

r=5-0-1=4.

По справочнику для χ2 =2,2 и r=4 находим вероятность p=0,7358 , что больше 0,05.

Следовательно предполагаемый закон Вейбула не противоречит опытным

Похожие материалы

Информация о работе