Построение графика статистической функции распределения. Построение гистограммы наработок между отказами

Страницы работы

Фрагмент текста работы

1. Исходные данные:

Наработка до отказа имеет распределение приведенное в таблице 1. Определить 80% ресурс машины с использованием вероятностных сеток.

Таблица 1 – Наработка до отказа, ч.

2021

509

841

2342

509

633

538

1237

928

286

776

1872

658

980

786

724

651

7302

903

1288

628

901

736

861

1345

1611

264

725

3744

1146

735

1665

559

1368

1705

619

1160

1199

379

667

2. Построение графика статистической функции распределения

Удобным способом получить представление о распределении случайной величины Х является построение графика статистической функции распределения выборки (х1, … хn).

,                                                                                                                  (1)

где q – число опытов, в которых случайная величина Х принимала значения меньше х; n – общее число произведенных опытов.

Статистический ряд перестраивается так, чтобы полученные числовые значения случайной величины располагались в возрастающем порядке (вариационный ряд).

Для возрастающего ряда эмпирическая функция распределения записывается:

 ,                                                   (2)

где i – порядковый номер опыта.

Таблица 2 – Вариационный ряд

i*

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

li

264

286

379

509

509

538

559

619

628

633

i/n

0,025

0,05

0,075

0,1

0,125

0,15

0,175

0,2

0,225

0,25

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

651

658

667

724

725

735

736

776

786

841

0,275

0,3

0,325

0,35

0,375

0,4

0,425

0,45

0,475

0,5

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

861

901

903

928

980

1146

1160

1199

1237

1288

0,525

0,55

0,575

0,6

0,625

0,65

0,675

0,7

0,725

0,75

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

1345

1368

1611

1665

1705

1875

2021

2342

3744

7302

0,775

0,8

0,825

0,85

0,875

0,9

0,925

0,95

0,975

1

3. Построение гистограммы наработок между отказами.

Из данных статистического ряда для непрерывных величин строится гистограмма, изображающая статистическую плотность распределения:

Плотность распределения:

;                                                                                                                (3)

где P*i – частость; li – длина разряда.

Частость:

,                                                                                                                (4)

где qi – число наблюдений в разряде (частота).

Длина разряда:

,                                                                                                                (5)

где  - максимальное значение случайной величины в разряде i;

 -  минимальное значение случайной величины в разряде i.

Рисунок 1 – График функции распределения.

Гистограмма построена на ЭВМ при помощи программы STATISTICA 6.0

Рисунок 2 – Гистограмма наработок между отказами.

На гистограмму путем подбора наложена кривая логорифмически нормального закона распределения, которая наиболее подходит к данной гистограмме.

3. Построение графика функции распределения на вероятностной сетке.

При небольшом числе опытов для определения закона распределения, его параметров, значений гамма-процентного ресурса и вероятности безотказной работы удобно пользоваться вероятностными шкалами. На сетке, построенной на этих шкалах, график функции распределения является прямой линией.

Расстояние до точки  z от начала координат (мм):

,                                                                                                                     (6)

где Kz– масштабный фактор.

Для нормального и экспоненциального законов распределения, где шкала по оси t равномерная, масштабный фактор Ktопределяется в зависимости от области изменения величины t:

                                                                                                                       (7)

Если за ширину графика принять величину L (мм), то значения t на горизонтальной оси следует откладывать при помощи соотношения:

,                                                                                                                     (8)

где масштабный фактор  Kt:

,                                                                                                                     (9)

4. Нормальное распределение

Квантиль при нормальном распределении вычисляем по формуле:

                                                                                                                                      (13)

где m,  - параметры распределения.

При построении шкалы F(t) наименьшее и наибольшее значения функции распределения принимаются равными 0,001 и 0,999. Тогда для UF наименьшее значение будет –3,09 и наибольшее 3,09.

Уравнение для SF при длине шкалы 150 мм определяем по:

                                                                                                                                      (14)

Горизонтальная шкала равномерная. Масштабный фактор Kt находим по (9).

Среднее квадратичное отклонение:

                                                                                                                                      (15)

где - угол, образованный прямой с осью t.

График функции нормального распределения изображен на рисунке 3.

Масштабный фактор Kt = 0,034 (был определен в п.3)

5. Логарифмически нормальное распределение.

Для логарифмически нормального распределения величина SF по той же формуле (14):

Горизонтальная шкала t неравномерная, логарифмическая.

Величина St определяется по формуле:

St = 100lgt,                                                                                                      (16)

в которой значения изменяются в пределах от 1 до 10, от 10 до 100, от 100 до 1000, от 1000 до 10000 и т.д. Длина шкалы при этом составляет 100 мм.

Для диапазона изменения оси от 10 до 100 рассматривается величина 10t.

Тогда:

S10t = 100lg10t=100+S                                                                                                                                                                                                                                (17)

Для диапазона изменения t от 100 до 1000 получим:

S100t = 200 + St                                                                                                                                       (18)

Математическое ожидание определяется также как и для нормального распределения.

Среднее квадратическое отклонение:

.                                                                                                                                     (19)

Для построения графика логарифмически нормального распределения необходимо определить масштабный фактор Kt. Горизонтальная шкала графика равна 240 мм и будет состоять из 2 диапазонов изменения: от 100 до 1000 и от 1000 до 10000.

Ширина графика определяется по формуле:

L = I – II –  III,                                                                                                                                 (20)

где I – длина участка 100 – 1000 (мм)

II – длина участка 1000 – 10000 (мм)

Длины I, II, показаны на рисунке

Длину участка I определяем по формуле (16):

I = 200+100 lg1000= 500 мм                               

Длина участка II определяется аналогично I:

II = 100 lg7,302 = 8,8 мм

Значит ширина графика по (20) равна:

L = 85,5 – 8,8 – 14,5 = 63,2 мм

Масштабный фактор определяем по формуле (9):

Далее, учитывая масштабный фактор и используя формулу (8) строим рисунок

Похожие материалы

Информация о работе