Ближайший к нулю корень уравнения, с точностью ε, тремя различными методами. Методы, применяемые для решения задачи

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Министерство высшего образования УР.

Удмуртский Государственный Университет.

Кафедра «теплоэнергетики»

Отчёт

 по лабораторной работе №1

Выполнил студент гр.34-31

Проверил преподаватель

Ижевск 2005.

Записка:

1.  постановка задачи

2.  исходные данные

3.  решение

4.  вывод

1.  В лабораторной работе для данных уравнений найти ближайший к нулю корень уравнения, с точностью ε, тремя различными методами, а именно: методом половинного деления, простых итераций и методом Ньютона. Для метода Дихотомии найти число произведенных итераций заранее. Сравнить их вычислительную эффективность для данных уравнений .

2.  Решить задачу (1) для данных уравнений:

2.1.    , где p = 0,2;  q = 0,3

2.2.   , где а= 0; b = 1; c = -3.

2.3.  точность ε= 0,0001

3.  методы, применяемые для решения задачи (1)

3.1.  Дихотомия (деление пополам)

Это метод применяется, если мы имеем только единственный корень на отрезке [a,b]. Пусть мы нашли такие точки a, b, что , т.е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня уравнения, найдем середину отрезка   и вычислим f(ξ). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой , ибо один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т.д. Если требуется найти корень с точностью ε, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданного значения ε, в данной задаче равным 0,0001. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе недифференцируемых: при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое. Зато точность ответа гарантируется. Метод неприменим к корням четной кратности. Для корней нечетной высокой кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам округления, возникающих при вычислении f(x). Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна.

Решим первое уравнение, применив дихотомию для нахождения корня:

X

F(X)

-5

-26,2602

-4

-16,6841

-3

-9,30934

-2

-4

-1

-0,69066

0

0,684137

1

0,260158

2

-1,42785

3

5,10142

4

-20,2863

5

-26,7098

Построим график исходной функции

Проведем расчет данным методом

Для начала расчета вычислим число итераций необходимых для решения данного уравнения с заданной степенью точности, по формуле:

где n – число итераций, ε – точность, заданная в условии задачи.

Проведя преобразования в уравнении для нахождения “n” получим, что необходимо выполнить n= 13.28771 итераций.

n

x1

x2

Ksi

f(x1)

f(x2)

f(Ksi)

x2-x1

0

1

2

1,5

0,260158

-1,42785

-0,50668

1

1

1

1,5

1,25

0,260158

-0,50668

-0,08754

0,5

2

1

1,25

1,125

0,260158

-0,08754

0,096447

0,25

3

1,125

1,25

1,1875

0,096447

-0,08754

0,006861

0,125

4

1,1875

1,25

1,21875

0,006861

-0,08754

-0,03975

0,0625

5

1,1875

1,21875

1,203125

0,006861

-0,03975

-0,0163

0,03125

6

1,1875

1,203125

1,195313

0,006861

-0,0163

-0,00468

0,015625

7

1,1875

1,195313

1,191406

0,006861

-0,00468

0,001099

0,007813

8

1,191406

1,195313

1,193359

0,001099

-0,00468

-0,00179

0,003906

9

1,191406

1,193359

1,192383

0,001099

-0,00179

-0,00034

0,001953

10

1,191406

1,192383

1,191895

0,001099

-0,00034

0,000378

0,000977

11

1,191895

1,192383

1,192139

0,000378

-0,00034

1,69E-05

0,000488

12

1,192139

1,192383

1,192261

1,69E-05

-0,00034

-0,00016

0,000244

13

1,192139

1,192261

1,1922

1,69E-05

-0,00016

-7,3E-05

0,000122

14

1,192139

1,1922

1,192169

1,69E-05

-7,3E-05

-2,8E-05

6,1E-05

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
357 Kb
Скачали:
0