Устойчивость сжатых стержней. Три вида равновесия тел. Критическая сила. Продольный изгиб. Потеря устойчивости

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

5.1. Понятие об устойчивости

При проектировании конструкций наряду с анализом прочности и жесткости проводится анализ их устойчивости.

Устойчивость конструкции - способность конструкции сохранять под нагрузкой начальную форму упругого равновесия.

5.1.1. Три вида равновесия тел. Критическая сила

Существует три вида равновесия тел: устойчивое, безразличное и неустойчивое.

Равновесие называют устойчивым, если после малого отклонения от исходного положения тело возвращается в это положение при устранении воздействия; безразличным – когда тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении,  являющееся устойчивым; неустойчивым – когда тело при малом отклонении не возвращается в исходное положение, а удаляется от него.

Простейшая иллюстрация этих понятий изображена на рис. 5.1. Равновесие шарика, лежащего на дне вогнутой сферы (рис. 5.1 а), является устойчивым, на плоскости (рис. 5.1 б) – безразличным, на вершине выпуклой сферы (рис. 5.1 в) – неустойчивым.

Рис.5.1

Рассмотренный пример об устойчивости положения шарика относится к задачам механики абсолютно твердого тела, в которых вид равновесия не зависит от значения действующих на тело сил.

В механике деформируемого твердого тела вид равновесия зависит от величины приложенной к телу нагрузки. При этом решается задача об устойчивости формы упругого равновесия.

Рассмотрим равновесие прямого гибкого стержня, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой F(рис. 5.2). В зависимости от величины силы стержень может иметь прямолинейную или искривленную формы равновесия.

Рис.5.2

Пока величина силы F меньше некоторого критического значения , стержень сохраняет исходную прямолинейную форму равновесия (рис. 5.2 а). Если верхний конец слегка отклонить, а затем отпустить, то после ряда колебаний стержень возвратится в первоначальное прямолинейное состояние. Таким образом, при  прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой.

Когда сила достигнет критического значения , стержень придет в состояние безразличного равновесия. Если теперь слегка отклонить стержень, а затем отпустить его, то он останется в изогнутом состоянии (штриховая линия на рис. 5.2 б). Таким образом, при  прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Происходит раздвоение (бифуркация) форм равновесия, т.е. наряду с прямолинейной возможна промежуточная искривленная  форма равновесия. При  условие равновесия нарушаются, что приводит к потере устойчивости стержнем.

Наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой и заменяется другой (изгибной) формой равновесия, называется критической силой.

На практике неустойчивые формы равновесия существовать не могут из-за неизбежного наличия факторов, которые способствуют начальному нарушению равновесной формы тела (начальная кривизна, внецентренность положения нагрузки). Поэтому описанный эксперимент носит воображаемый характер.

5.1.2. Продольный изгиб. Потеря устойчивости

Приложение к стержню продольной силы, даже незначительно превышающей , приводит к потере устойчивости первоначальной прямолинейной формы равновесия, а стержень изгибается. Это явление называется продольным изгибом (рис. 5.2 в).

Появление продольного изгиба опасно тем, что происходит очень быстрое нарастание прогиба, и стержень теряет устойчивость. Это приводит, как правило, к разрушению конструкции либо к появлению недопустимых пластических деформаций, что делает стержень непригодным к работе.

Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных элементов конструкций типа стержней, пластин и оболочек. Потеря устойчивости сжатых элементов - наиболее часто встречающаяся причина обрушений инженерных сооружений. Особенно опасный характер придает разрушениям их внезапность.

В курсе сопротивления материалов рассматривается только одна задача об устойчивости прямолинейных сжатых стержней. Более сложные случаи рассматриваются в специальном курсе «Устойчивость и динамика сооружений».

Для обеспечения безопасности сооружения необходимо, чтобы удовлетворялось условие устойчивости:

                                                      (5.1)

где F – рабочая нагрузка,  – критическая нагрузка, К – коэффициент