Интерполяционный полином Ньютона. Аппроксимация зависимостей. Табулирование полинома. Клетки для разделенных разностей и коэффициентов полинома

Страницы работы

Содержание работы

ПРИМЕР 2

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ НЬЮТОНА

Постановка задачи

Даны узловые точки Х0, Х1, Х2, Х3, Х4 и соответствующие им известные значения аппроксимируемой функции F(x):  F0, F1, F2, F3, F4.

Требуется :

1)  построить интерполяционный полином Ньютона четвертого порядка P4(x).

2)  построить график P4(x);

Пример выполнения работы

Пусть даны следующие узловые точки и соответствующие им значения аппроксимируемой функции: X0=5,2; F0=0,7827; X1=6,1; F1=5,1892; X2=7,3; F2=11,5522; X3=7,9; F3=12,8947;  X4=8,8; F4=11,7246.

Для наглядности значения аппроксимируемой функции были рассчитаны по формуле F(x) = x + 5 sin x.

Табулирование полинома P4(x) для построения графика требуется выполнить на промежутке [1,252, 16,292].

Внесем в электронную таблицу исходные данные для аппроксимации:

А1¬’Аппроксимация зависимостей

А2¬’Интерполяционный полином Ньютона

А3¬’Исходные данные для аппроксимации

А4¬’Х0 B4¬’X1 C4¬’X2 D4¬’X3 E4¬’X4 F4¬’F0 G4¬’F1 H4¬’F2 I4¬’F3       J4¬’F4

А5¬5,2      B5¬6,1      C5¬7,3      D5¬7,9      E5¬8,8 

F5¬ 0,7827    G5¬ 5,1892    H5¬ 11,5522    I5¬12,8947       J5¬11,7246

Создадим электронную таблицу для расчета коэффициентов полинома P4(x).

Заголовок таблицы:

А6¬’Полином Р4(х):

A7¬’X   B7¬’F,A0   C7¬’I,A1   D7¬’II,A2   E7¬’III,A3   F7¬’IV,A4 

Столбцы исходных данных:

A8  ¬=A5  B8  ¬=F5

A9  ¬=B5  B9  ¬=G5

A10¬=C5  B10¬=H5

A11¬=D5  B11¬=I5

A12¬=E5  B12¬=J5

Клетки для разделенных разностей и коэффициентов полинома:

С9  ¬=(B9-$B$8)/(A9-$A$8) ; копируем С9 в С10:С12 

D10¬=(C10-$C$9)/(A10-$A$9) ; копируем D10 в D11:D12

E11¬=(D11-$D$10)/(A11-$A$10) ; копируем E11 в E12

F12¬=(E12-E11)/(A12-A11)

Внесем в электронную таблицу исходные данные для табулирования P4(x):

A13¬’Табулирование F(x), P4(x):

D13¬’Xn=  E13¬=4,0  F13¬’Xk=  G13¬=10,0  H13¬’h=  I13¬=(G13-E13)/20

A14¬’X  B14¬F(x) C14¬’P4(x)

A15¬=E13  A16¬=A15+$I$13 ; копируем A16 в A17:A35

B15¬A15^2-A15; копируем B15 в В16:В35

С15¬=$B$8+$C$9*(A15-$A$8)+$D$10*(A15-$A$8)*(A15-$A$9)+

$E$11*(A15-$A$8)*(A15-$A$9)*(A15-$A$10)+

$F$12*(A15-$A$8)*(A15-$A$9)*(A15-$A$10)*(A15-$A$11)

Копируем С15 в С16:С35

Построение графика P4(x):

Выделяем диапазоны A15:С35; Мастер диаграммТочечные

Полученная в результате описанных действий электронная таблица:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

 Аппроксимация зависимостей

2

 Интерполяционный полином Ньютона

3

 Исходные данные для аппроксимации

4

X0

X1

X2

X3

X4

F0

F1

F2

F3

F4

5

5,2

6,1

7,3

7,9

8,8

0,7827

5,1892

11,5522

12,8947

11,7246

6

7

X

F, A0

I, A1

II, A2

III,A3

IV, A4

8

5,2

0,7827

9

6,1

5,1892

4,8961

10

7,3

11,5522

5,1283

0,1935

11

7,9

12,8947

4,4859

-0,2279

-0,7023

12

8,8

11,7246

3,0394

-0,6877

-0,5875

0,1276

13

 Табулирование P4(x) и F(x)

Xn=4,0

Xk=10,0

h=0,3

14

X

P4(x)

F(x)

15

4,0

5,3753

0,2160

16

4,3

2,3362

-0,2808

17

4,6

0,7494

-0,3685

18

4,9

0,3212

-0,0123

19

5,2

0,7827

0,7827

20

5,5

1,8899

1,9723

21

5,8

3,4235

3,4770

22

6,1

5,1892

5,1892

23

6,4

7,0173

6,9827

24

6,7

8,7630

8,7242

25

7,0

10,3064

10,2849

26

7,3

11,5522

11,5522

27

7,6

12,4302

12,4396

28

7,9

12,8947

12,8947

29

8,2

12,9251

12,9037

30

8,5

12,5254

12,4924

31

8,8

11,7246

11,7246

32

9,1

10,5763

10,6955

33

9,4

9,1591

9,5239

34

9,7

7,5763

8,3412

35

10,0

5,9561

7,2799

Внимательно проанализировав результаты построения интерполяционного полинома Ньютона можно сделать следующие выводы:

1.  В узловых точках значения интерполяционного полинома Ньютона в точности совпадают с значениями аппроксимируемой функции, что говорит о выполнении условия Лагранжа.

2.  Точность интерполяционного полинома Ньютона в пределах промежутка аппроксимации достаточна большая, т.е. интерполяционный полином Ньютона хорошо подходит для решения задач интерполяции.

3.  Точность интерполяционного полинома Ньютона при выходе за границы промежутка аппроксимации значительно уменьшается, т.е. в данном случае интерполяционный полином Ньютона не подходит для решения задач экстраполяции. Хотя, как показывает практика, для гладких непериодических функций возможно использование интерполяционного полинома Ньютона для экстраполирования значений на незначительном удалении от промежутка аппроксимации.

Похожие материалы

Информация о работе