Изучение законов распределения и получение числовых характеристик случайной величины, расчёт коэффициента корреляции и уравнения регрессии, страница 2

№	Поддиапазон изменения, хi	Частота, ni	Вероятность Рi	Накопленная вероятность SРi
1	48,2-42,62	2	0,04	0,04
2	42,62-37,04	3	0,06	0,10
3	37,04-31,46	3	0,06	0,16
4	31,46-25,88	11	0,22	0,38
5	25,88-20,3	11	0,22	0,60
6	20,3-14,72	14	0,28	0,88
	14,72-9,1	6	0,12	1,00

Строим гистограммы распределения случайной величины х (по частным и накопленным частотам).

Рис.1. Гистограмма распределения  x_i  от P_i                   

  Рис.2. Гистограмма распределения x_i  от SP_i

 

 

Для y делаем аналогичные расчеты:

y_min = 26,76,    y_max = 71,04.

D =  y_max – y_min = 71,04 – 26,76 = 44,28.

m =  – шаг поддиапазона.

к – число поддиапазонов, равное 7.

Находим частоту попадания случайных величин в каждый из интервалов  и составляем вспомогательную табл.3, для построения гистограмм.

Таблица3

Строим гистограммы распределения случайной величины y (по частным и накопленным частотам).

        

Рис.3. Гистограмма распределения y_i  от P_i.                         Рис.4. Гистограмма распределения y_i от SP_i

II. Получение начальных и центральных моментов выборочного

распределения

Начальные моменты выборочного распределения рассчитываются по формуле:

 где

M_S – начальный момент s-гo порядка; x_i –  i-ое значение случайной величины, i=1, 2, ... N.

Центральные моменты рассчитываются по формуле:

 где

т_S  – центральный момент s-гo порядка; – среднее арифметическое,  (на-чальный момент первого порядка).

Наиболее часто в практике используется центральный момент второго порядка (оценка дисперсии):

а также (среднее квадратичное отклонение).

Для оценки формы кривой распределения используются центральные моменты третьего и четвёртого порядков, которые вычисляются по формулам:

Таблица 4

Значения начальных и центральных моментов

М1	М2	М3	М4	m1	m2	m3	m4
52,85	2852,048	156872,2	8776514,315	-21,3808	609,2889	-18724,4	605099,2

Для оценки степени асимметрии распределения используется коэффициент асимметрии:

.

;       .

а для оценки характеристики степени «крутости» – показатель эксцесса:

Для оценки близости распределения к нормальному рассчитываются вспомогательные коэффициенты:

и

Если , a то закон распределения можно считать нормальным.

По расчету получаем следующее:

; 

-1,21  <  0,66,

-1,4    <  1,24.

            Вывод: т.к. условия , a соблюдаются, то можно сделать вывод о том, закон распределения можно считать нормальным.

III. Получение коэффициента корреляции

Вычисление коэффициента корреляции удобно производить по следующей формуле:

IV. Нахождение теоретической линии регрессии

Для нахождения по методу наименьших квадратов коэффициентов линейного уравнения Y=a+bxможно воспользоваться следующими формулами:

 

;

остаточная дисперсия:

;

.

Рис.5. Линия регрессии

            Вывод: При х₂ (% твердого на выходе мельницы) и y₂(+100 мкм на выходе мельницы) мы наблюдаем прямо пропорциональную зависимость между х и у, т.е. при увеличении x значение у увеличивается.