Аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Определения аппроксимирующих полиномов в системе MathCad

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Upon termination of performance of work the task is necessary to decide by what method is decided best, and also to decide by what means it more easy to decide: MathCad or Turbo Pascal.

Pages- 24, tables-1, figures- 1.

Оглавление

Стр.

1.

Введение……………………………………………………………………………

4

2.

Задание……………………………………………………………………………..

5

3.

Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов…………

6

4.

Элементы теории корреляции. …………………………………………………..

8

5.

Определения аппроксимирующих полиномов в системе MathCad …………...

11

6.

Программа на языке Pascal………………………………………………………..

15

7.

Выводы……………………………………………………………………………..

19

8.

Библиографический список………………………………………………………

20

9.

Приложение 1……………………………………………………………………...

21

10.

Приложение 2……………………………………………………………………...

24

1.  Введение

Целью выполнения курсовой работы является закрепление устойчивых навыков работы в среде базовых  информационных технологий при решении типовых  задач сферы деятельности. В любой сфере деятельности найдется множество задач, исходные и результатные данные в которых должны быть представлены в табличном виде. Для автоматизации решения подобных задач предлагается универсальная математическая система MathCad, изучаемая в курсе информатики. В процессе выполнения курсовой работы студент должен научиться применять основные технологические операции в среде MathCad для самостоятельного решения с помощью компьютера задач из предметной области, связанной с исследованиями геологических процессов, возникающих в недрах Земли.

1.  Задание

Для заданной функции  необходимо составить таблицу значений х и у на промежутке [0;1,5], с шагом 0,1. По значениям этих величин надо получить эмпирические формулы их зависимости с помощью трех полиномов: аппроксимирующих: линейного, квадратичного и кубического. Для определения наилучшего из этих полиномов нужно вычислить коэффициент детерминированности для всех видов аппроксимации, а также коэффициент корреляции для линейной зависимости, а затем провести их оценку (чем их значение ближе к единице, тем более удачно выбрано уравнение зависимости данных величин). Также необходимо построить графики расчетных значений и аппроксимировать их с помощью полиномов линейного, квадратичного и кубического. Данную работу выполнить в MathCad, проверку сделать на языке Pasсal, результаты сравнить.

3. Построение эмпирических формул методом наименьших  квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

x

 

 

 

 

y

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых  (независимая величина) экспериментатором, а  получается в результате опыта. Поэтому эти значения  будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но её аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача – найти эмпирическую формулу

,                                                            (1)

(где -параметры), значения которой при  возможно мало отличались бы от опытных значений .

Обычно укладывают класс функций (например, множество линейных, линейных, степенных, показательных и т.п.), из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные , то получим теоретические значения    , где

Разности  называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек  до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами  считаются те , для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции будет минимальной.

                                          (2)

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел (хi, уi) из исходной таблицы определяет точку М1 на плоскости ХОУ. Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов а1, а2,……ам, можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов а1, а2,……ам таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек Мi(xi, yi) до графика функции (1) была наименьшей

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение её наилучших параметров.

Если известен характер зависимости между данными величинами х и у, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдаётся простым формулам, обладающим хорошей точностью

Похожие материалы

Информация о работе