Механическая работа магнитных сил взаимодействия системы токов без учета взаимодействия каждого контура с самим собой

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Экзамен. Механическая работа магнитных сил взаимодействия системы токов без учета взаимодействия каждого контура с самим собой.       Как и в предыдущем вопросе, работа э. д. с. индукции в каждом контуре с током не учитывается.

Пусть dAki — работа, совершаемая магнитными силами над k -ым контуром со стороны магнитного поля  тока i -го контура.

                   Будем считать, что k i. Работу dAii рассмотрим отдельно в следующем

вопросе. Итак k i. Используя формулу dA = I ⋅ Φd B , получим

c

                      dAki = Ik dΦki = Ik d LFH ki Ii IK . c  c         c

                                              Формально     d LFH ki Ii IK = Ii dLki + Lki d Ii ,        как     дифференциал      от c    c        c

произведения. Однако, слагаемое Lki d Ii означает изменение тока Ii и вместе c

с ним магнитного поля без перемещения k -го контура. Как было замечено в предыдущем вопросе, работа при этом не совершается, поэтому нужно

отбросить слагаемое Lki d Ii и оставить только Ii dLki . Следовательно c       c

Ik Ii dLki

  dAki = c c

Казалось бы, работа взаимодействия системы токов будет равна dA = ∑ ∑dAki = I Ik i2 dLki , однако на самом деле работа вдвое меньше.

              i k,                 i k,    c

          Рассмотрим подробнее.

Lki может изменяться и за счет перемещения k -ого контура (обозначим  такое изменение, как d Lk ki ) и за счет перемещения i -ого контура (обозначим такое изменение, как d Li ki ). Тогда

dLki = d Lk ki + d Li ki — изменение коэффициента взаимной индукции при перемещении обоих контуров.

Работа при перемещении k-го контура в поле i-го контура dAki связана с изменением коэффициента взаимной индукции Lki только за счет перемещения k-го контура, тогда

          dAki = Ik Ii d Lk      ki вместо прежнего выражения dAki = Ik Ii dLki . c    c        c        c

          Рассмотрим сумму двух слагаемых

                                dAki + dAik = I Ik i2 d Lk            ki + I Ii k2 d Li            ik . c        c

           С учетом Lik = Lki получим

                                dAki + dAik = I Ik i2 d Lk     ki + I Ik i2 d Li ki = I Ik i2 ⋅bd Lk            ki + d Li            ki g = I Ik i2 ⋅dLki  => c   c        c        c

dAki + dAik = I Ik i2 ⋅dLki

c

Просуммируем это равенство по всем значениям индексов i и k , таких что i k , и получим

∑ ∑ ∑ I Ik i dLki .            dAki + dAik = 2 i k,        i k,               i k,          c i k≠     i k≠         i k

      Здесь в левой части равенства каждая из двух сумм равна dA. Тогда

  dA = 1I Ik i2 dLki — механическая работа взаимодействия системы

2 i k, c

i k

токов без учета работы каждого контура над самим собой.

Факультатив. Механическая работа магнитных сил контура с током над самим собой при деформации контура.

          Антипараллельные токи отталкиваются, поэтому контур с током стремится растянуться в окружность. Если ему позволить, то он совершит положительную работу.

            Мысленно разобьем контур с током I на сумму N токов Ii = I . Пусть

N

эти токи полностью тождественны и занимают один и тот же объем.

N

         Покажем, что ∑ Aii →N→∞ 0.

i=1

           dF = I dl B,      =>      dFi ~ B Ii i

c

1

           Но Bi ~ Ii ~      , тогда

N

1

          dFi ~ B Ii i ~ 2              =>

N

N

Aii = NAii ~ 1 →N→∞ 0 i=1              N

1

Aii ~ dFi 2 N

=>

          Тогда для системы тождественных токов при N → ∞ можно пренебречь работой самовоздействия каждого тока и найти работу по формуле из предыдущего вопроса:

        dA 1∑ I Ik i2 dLki

 c

      Здесь все слагаемые одинаковые, так как токи тождественны, тогда

                                                                                                            I     I

                                                                                                                 ⋅                    2

            dA = 1 N Na −1f I Ik i2 dLki = 1 N Na −1f N 2N dL ≈ 1 ⋅ I2 ⋅dL                    =>

                            2                 c              2                   c               2 c

I 2

               dA =    2 dL — работа контура с током I над самим собой, dL

c

изменение индуктивности контура при его деформации.

         dA = 1∑ I Ik i dL + 1∑ Ii22 dLii

                                            2          ki

                            2 i k,     c                2 i c

i k

Здесь первое слагаемое — работа взаимодействия системы токов без учета работы каждого контура над самим собой, второе слагаемое — работа каждого контура над самим собой.

          Объединяя оба слагаемых в одну сумму, получим

          dA =         I Ik i dL — эту формулу для работы нужно запомнить к экзамену без ее вывода.

Факультатив. Магнитная энергия взаимодействия системы токов.

(с учетом работы э. д. с. индукции)  Пусть W — магнитная энергия системы токов.

При уменьшении энергии магнитного поля энергия расходуется на механическую работу магнитных сил и на работу Ek I dtk э. д. с. индукции в каждом контуре. Э. д. с. индукции черпают энергию из магнитного поля. Работа э. д. с. индукции расходуется на Ленц-Джоулево тепло в соответствии с законом Джоуля-Ленца N = EI +UI = EI .

          −dW = dA + ∑Ek I dtk

k

Тогда подставим выражение для работы dA из предыдущего вопроса и получим  dW = − 1 I I dL − Ek I dtk .

                                  2 i k,    c               k

Подставим сюда выражение для э. д. с. индукции E = −1dΦ и получим c      dt

  dW = − 1∑ I Ik i2 dLki − ∑FH−1⋅ dΦk IKI dtk     .

                                  2 i k,    c               k          c     dt

                                                   Сократим dt в числителе и знаменателе, тогда F   I

          dW = −          k i             −       −  ⋅dΦk KIk .

   Подставим сюда выражение для потока через коэффициент взаимной

индукции Φk = Lki Ii и получим

                                          i            c

  dW = − 1∑ I Ik i2 dLki + ∑ ∑Ik dFHG   Lki Ii IJK .

                                  2 i k,    c                k c          i            c

                                           F  Ii I

Разложим d LH ki K , как дифференциал от произведения и получим

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
147 Kb
Скачали:
0