Приближение вращающейся волны. Реакция двухуровневой среды на поле монохроматической волны

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Приближение вращающейся волны.

         Рассмотрим уравнения для матрицы плотности в системе отсчета атома.

                       ρ γρ γρɺ                  + =       0 −i pE t( )(ρ ρ12 − 21)

                 11       1 11        1 11            ℏ

  ρ γρ γρɺ22 + 2 22 = 2 220 +i pE t( )(ρ ρ12 − 21)                                                                                                    (3.1)

                                                         ℏ

ρ ωρ ρɺ21 + i 21 21 + Γ 21 = i pE tℏ( )(ρ ρ11 − 22) 

Введем некоторые упрощающие предположения. Упрощения будут вполне справедливы, если вероятности обнаружить атом на уровнях 1 и 2 ρ11 и ρ22 не успевают заметно измениться за период световой волны.

         Сначала рассмотрим предельный случай: ρ ρ11 22 = const .

          Рассмотрим 3-е уравнение системы 

ρ ωρ ρɺ21 + i 21 21 + Γ 21 = i pE t( )(ρ ρ11 22) и подставим в него выражение

для                                напряженности       электрического    поля E t( )           в        явном          виде: iϕ ϕ+ ei

E t( ) = E0 cos( )ϕ = E0 e        ,          где ϕ     —           фаза                                               световой волны

2

ϕ ω= ⋅ −t (k r, ) −ϕ0.

          Тогда

                                                                              E0 ⋅ eiϕ ϕ+ e⋅(ρ ρ−     )

 ρ ωρ ρɺ21 + i 21 21 + Γ 21 = i p                           11       22                 (3.2)

                                                                              ℏ          2

В правой части этого равенства есть слагаемые с "+ " и "− " оптической частотой: eiϕ и eiϕ. Тогда решение для ρ21 нужно искать в виде суммы двух аналогичных слагаемых:

ρ ρ21 = 21+eiϕ+ρ21eiϕ, где ρ21+ и ρ21− — постоянные амплитуды.  Чуть позднее мы откажемся от предположения ρ ρ11 22 = const и амплитуды ρ21+ и ρ21− станут функциями времени. Пока же ρ21+ = const и ρ21= const. Тогда из условия ρ ρ21 = 21+eiϕ+ρ21eiϕ получаем в результате дифференцирования по времени:  ρ ωρɺ21 = i ' 21+eiϕ−iωρ' 21−eiϕ.

Подставим это выражение для ρɺ21 и ρ ρ21 = 21+eiϕ+ρ21−eiϕ в уравнение (3.2). Соберем отдельно слагаемые с eiϕ и eiϕ и получим два уравнения:

ωρ ωρ' 21+ +i 21 21+ + Γρ21+ = i pE0(ρ ρ11 − 22)

             i                                                 2ℏ

                                                                                                         =>

−iωρ ωρ' 21− +i 21 21− + Γρ21− = i pE0(ρ ρ11 − 22)

 21+

                              2ℏ     Γ + i(ω ω+ ')

                     i             ρ ρ11 − 22                                  =>           ρ21− >> ρ21+

           ρ21− = 2ℏ0 ⋅ Γ + i(ω ω21 −    ')

   Тогда ρ21+ можно отбросить в выражении ρ ρ21 = 21+eiϕ+ρ21eiϕ и

отбросить E0 eiϕ в выражении E0 eiϕ ϕ+ ei в правой части уравнения (3.2).

                              2                                           2

     Тогда выражение для светового поля принимает вид: E = 1 E0eiϕ — вид

2

вектора вращающегося на комплексной плоскости по часовой стрелке с угловой скоростью ω'.

По     этой   причине      рассматриваемое приближение           называется приближением вращающейся волны.

Аналогичные отбрасывания то одной, то другой части светового поля будут и в двух первых уравнениях системы (3.1).

Итак, если отбросить малое слагаемое ρ21+eiϕ, то недиагональный элемент матрицы плотности примет вид:

ρ ρ21 =      21−eiϕ≡ ρɶ21eiϕ,          где ρɶ21 — комплексная амплитуда недиагонального элемента ρ21.

Откажемся теперь от первоначального предположения, что ρ ρ11 22 = const . В таком случае все равно можно считать, что

 ρ ρ21 = ɶ21eiϕ,                                                                                  (3.3)

но только ρɶ21 окажется теперь функцией времени, хотя и медленной по сравнению с оптическими колебаниями.

Продифференцируем уравнение (3.3) по времени и с учетом того, что ϕ тоже зависит от времени ϕ ω= 't (k r', ') −ϕ0, получим:

 ρ ρɺ21 = ɺɶ21eiϕ−iωρ' ɶ21eiϕ                                                         (3.4)

Подставим (3.3) и (3.4) в уравнение (3.2), в духе приближения вращающейся волны, отбросим в правой части слагаемое, пропорциональное

eiϕ, и, после сокращения на eiϕ, получим:

 ρ ρ ρɺɶ21 − Ωi ɶ21 + Γ ɶ21 = i R(ρ ρ11 −     22 )                                                                                             (3.5)

2

          Здесь введены обозначения:

Ω ≡ω ω ω'21 = − kVz ω21 — расстройка частоты света ω' относительно частоты перехода ω21 в системе отсчета атома,

pE0

          R — частота Раби.

Найдем теперь, как изменится правая часть первых двух уравнений системы (3.1) в приближении вращающейся волны, если подставить ρ ρ21 = ɶ21eiϕ.

          Рассмотрим

          E t    

                           eiϕ ϕ+ ei              iϕ−ρɶ −

           = E0 ⋅(ρɶ12e    21e iϕ) ≈ E0(ρ ρɶ12 − ɶ21).

                                     2                                           2

В последнем равенстве отброшены слагаемые с удвоенной оптической частотой, так как раскачивание ρ11 и ρ22 на этой частоте мало эффективно.

          И действительно:

          (γρ1  11)2ω' << (ρɺ11)2ω' ≈ (ρɺ11)0 ≈ (γρ1           11)0 ,                       (3.6)  где:

           (2ω') — слагаемые на удвоенной оптической частоте,

           (0) — слагаемые на нулевой частоте.

Первое неравенство связано с тем, что γ ω1 << 2 ', и с тем, что при дифференцировании величины, осциллирующей на частоте (2ω'), перед дифференцируемой величиной появляется сомножитель (2ω').

Приблизительное равенство в середине цепочки (3.6) связано с тем, что правая часть первого уравнения системы (3.1) имеет одинаковую амплитуду на частоте 2ω' и на частоте 0.

Правое равенство в цепочке (3.6) связано с тем, что, если нет накачки на уровень 1 и нет светового поля, то величины в двух частях равенства в точности равны по модулю. В остальных случаях это величины одного порядка.  Сравнивая начало и конец цепочки (3.6), получаем:  (ρ11)2ω' << (ρ11)0 .

То есть, осцилляциями величин ρ11 и ρ22 на удвоенной оптической частоте можно пренебречь.

Отбрасывая осцилляции величин ρ11 и ρ22 на удвоенной оптической частоте в двух первых уравнениях системы (3.1), получим ту же систему уравнений в новом виде:

ρ γρ γρɺ11 + 1 11 = 1 110 −i R2 (ρ ρɶ12 − ɶ21) 

                                         0 + i R(ρ ρɶ12 − ɶ21)                                      (3.7)

      ρ γρ γρɺ22 + 2 22 = 2 22

                                                    2

ρ ρ ρɺɶ21 − Ωi ɶ21 + Γ ɶ21 = i R2 (ρ ρ11 − 22)

Это и есть уравнения для матрицы плотности в приближении вращающейся волны.

          Для решения любой квантовомеханической задачи нужно сначала решить систему уравнений (3.7), затем по полученной амплитуде ρɶ21 найти недиагональные элементы

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
182 Kb
Скачали:
0