Теория субпуассноновского лазера. Проблемы квантовой оптики. О методах теоретического описания в квантовой оптике

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Здесь во второй формуле имеет место параметр p, который связан со статистикой возбуждения верхнего лазерного уровня. Если накачка совершенно случайная (пуассоновская), то p = 0, если - строго регулярная (субпуассоновская), то p = 1. Промежуточные ситуации характеризуется соотношением 0 < p < 1, а суперпуассоновская накачка имеет место при p < 0.

Для построения спектров фототока при детектировании лазерного излучения нам важно будет знать еще средние от нормально упорядоченных произведений операторов. Они также могут быть найдены в работах

[3, 4]:

h: Fˆ1(t)Fˆ1(t0) :i =

                                 h                                                                             i

= γ1hN1i − ghaˆPˆ + aˆPˆi + R(1 − p)   δ(t t0),            (4.22) h               i

h: Fˆ2(t)Fˆ2(t0) :i =           γ2hN2i − ghaˆPˆ + aˆPˆi         δ(t t0),            (4.23) h: Fˆ1(t)Fˆ2(t0) :i = ghaˆPˆ + aˆPˆi δ(t t0),    (4.24) h: Fˆp(t)Fˆp(t0) :i =

= h: Fˆp(t)Fˆp(t0) :i = [ (2γγ1)hN1i + R ] δ(t t0),   (4.25) h: Fˆp(t)Fˆp(t0) :i = 2ghaˆPˆi δ(t t0),         (4.26) h: Fˆp(t)Fˆ2(t0) :i = h: Fˆ2(t)Fˆp(t0) :i = γ2hPˆi δ(t t0).              (4.27)

4.3      Адиабатические уравнения и их линеаризация

При том выборе атомных констант, который был нами сделан, мы можем понять, что среди прочих переменных поляризация лазерного перехода Pˆ и заселенность нижнего лазерного уровня Nˆ2 являются самыми быстрыми переменными, и они могут быть исключены из теории в рамках адиабатического приближения. Тогда из равенств Pˆ˙ = 0 и Nˆ˙ 2 = 0 можно в явном виде записать значения Pˆ и Nˆ2 как функции от aˆ и Nˆ1 и подставить их в оставшиеся два уравнения. Вследствие чего наша теория в адиабатическом приближении представляется теперь системой двух уравнений:

Nˆ˙ 1 = R γ1Nˆ1 caˆaˆNˆ1 + ξˆ1(t), c = 2g2= β1γ1, (4.28) aˆ˙ = −C/2 aˆ + c/2 Nˆ1aˆ + ξˆa, (4.29) где новые источники выражаются через начальные в виде:

                                                          ,                 (4.30)

                                                            ξˆa = Fˆa + g/γ(Fˆp g/γ2 Fˆ2aˆ).                                        (4.31)

Уравнение (4.29) легко линеаризуется, поскольку оно зависит только от числа атомов и числа фотонов, которые, разумеется, слабо флуктуируют около своих полуклассических значений:

                                   εˆ= aˆ†aˆ − N ¿ N,                   δN1 = N1 − N1,cl. ¿ N1,cl..

После линеаризации получаем следующее:

(4.32)

                                     δN˙ˆ1 = −Γ δNˆ1 ˆ+ ξˆ1(t),               Γ = γ1 + cN.

(4.33)

В то же самое время, линеаризовать уравнение (4.29), по меньшей мере, не просто. Дело в том, что из-за диффузии фазы поля, которая имеет место всегда в лазерной генерации, мы не можем, вообще говоря, потребовать, чтобы оператор

                                                                                         δaˆ = aˆ −      N                                                (4.34)

был бы много меньше величины N. В статистической полуклассической теории, где имеет место комплексная c-числовая амплитуда, мы

4.3.      Адиабатические уравнения и их линеаризация могли бы перейти к двум переменным, а именно, к вещественной амплитуде поля и к фазе. При этом получается, что фазовое развитие оказывается независимым от амплитудного, что позволяет описать диффузию фазы, но одновременно провести линеаризацию по всем остальным переменным. В квантовой теории подобное представление оператора уничтожения фотонов оказывается затруднительным, поэтому затруднительно провести и корректную линеаризацию.

Частым подходом к этой проблеме является следующий. Дело в том, что скорость амплитудных (фотонных) и фазовых флуктуаций в лазерной системе существенно разные. Поскольку фазовые флуктуации обычно на много порядков более медленные, чем фотонные, то в наших уравнениях мы можем ограничить тот временной интервал, на котором процесс рассматривается, и пренебрегать фазовой диффузией в этом интервале. И тогда все-таки применить критерий малости комплексной амплитуды поля

                                                                                   √             √

                                                              δaˆ = aˆ −       N ¿         N.                                           (4.35)

Тогда мы сможем линеаризовать уравнение (4.29) в следующей форме:

                                                               δaˆ˙ = c/2N δNˆ1 + ξˆa.                                           (4.36)

Перепишем это уравнение для комплексной амплитуды через квадратурные компоненты:

δaˆ = δXˆ + i δY .ˆ

Нетрудно получить два следующих уравнения:

(4.37)

(4.38)

                                                                                                                 .                                     (4.39)

Теперь покажем, что δXˆ и εˆ это с точностью до коэффициента одно и тоже. Действительно,

                                       (4.40)

Таким образом мы получаем систему из двух уравнений относительно двух переменных ε δˆ Nˆ1:

                                                        δN˙ˆ1 = −Γ δNˆ1 ˆ+ ξˆ1(t),               Γ = γ1 + cN,               (4.41)

                                                      .                                   (4.42)

Здесь стохастические источники выражаются через исходные в форме:

Теперь, что касается флуктуации другой квадратуры. Для малых флуктуаций мы можем отождествить эти флуктуации с фазовыми:

                                                                                            .                                                  (4.45)

Нетрудно увидеть, что флуктуации этой величины нарастают со временем неограниченно по закону диффузии hδY 2i = Dt. Но мы помним, что в наших приближениях мы имеем право рассматривать ситуацию, ограничиваясь достаточно малым временным интервалом t, пока диффузия фазы не успевает сказываться на движении других параметров.

Принимая во внимание соотношения между полуклассическими параметрами и корреляционные соотношения для исходных источников, можем получить ненулевые корреляционные функции в виде:

hξˆ²(t) ξˆ²(t0)i = N(C + cN1,cl.) δ(t t0),     (4.46) hξˆ1(t) ξˆ1(t0)i = ΓN1,cl.(2 − p) δ(t t0),       (4.47) hξˆ²(t) ξˆ1(t0)i = −cNN1,cl. δ(t t0).       (4.48)

И средние от нормально-упорядоченных операторов имеют вид:

h: ξˆ²(t)ξˆ²(t0) :i = 2cNN1,cl. δ(t t0),       (4.49) h: ξˆ1(t)ξˆ1(t0) :i = ΓN1,cl.(2 − p) δ(t t0),     (4.50) h: ξˆ²(t)ξˆ1(t0) :i = −2cNN1,cl. δ(t t0).             (4.51)

4.4. Спектральное представление уравнений

4.4                    Спектральное представление уравнений

Далее нам удобно перейти на спектральный язык с помощью Фурьепреобразования, вводя вместо временной зависимостей частотную. Фурье преобразование, которое связывает функцию Λ(t) с ее спектральным образом Λω, дается интегральными соотношениями

                                      (4.52)

Введем в рассмотрение спектральные плотности (ξ12)ω, (ξS2)ω и (ξ1ξS)ω как множители перед дельта-функциями в функциях корреляций:

                                          hξˆ²ωξˆ²ω0i = (ξ²2)ω δ(ω + ω0),                                                  (4.53)

                                                                                   (4.54)

                                          hξˆ²ωξˆ1ω0i = hξˆ1ωξˆ²ω0i = (ξ1ξ²)ω δ(ω + ω0).                      (4.55)

Принимая во внимание малость флуктуаций для числа атомов на верхнем лазерном уровне и для числа фотонов в резонаторе, учитывая стационарные полуклассические решения задачи, мы сможем записать спектральные мощности источников шума в следующем виде:

                                            (ξ²2)ω = 2CN,              (ξ12)ω = C/c Γ(2 − p),

                                             (ξ1ξ²)ω = −CN.                                                                             (4.56)

Аналогичным образом спектральные мощности для нормально упорядоченных величин даются формулами

                                       (: ξ²2 :)ω = 2CN,               (: ξ12 :)ω = C/c Γ(2 − p),

                                        (: ξ1ξ² :)ω = −2Cn.                                                                            (4.57)

Применим к уравнениям (4.41)-(4.42) фурье-преобразование, тогда получим следующую алгебраическую

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
350 Kb
Скачали:
0