Криволинейный интеграл 1 рода. Поверхностный интеграл 1 рода. Дифференциальные формы. Геометрия поверхностей

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Ориентация поверхности с параметризацией :Rk !Rn, определяется ориентацией пространства локальных координат Rk. Эта ориентация может быть также определена как непрерывная ориентация касательных пространств к поверхности (т.е. посредством задания базиса касательных векторов, непрерывно зависящего от точки поверхности). В случае гиперповерхности ориентация может быть задана при помощи трансверсальной ориентации, т.е. посредством непрерывной ориентации нормалей к гиперповерхности, с одновременным заданием ориентации объемлющего пространства. Именно, гладкое нормальное векторное поле n определяет ориентацию гиперповерхности с касательным базисом 1;::: n 1, если вектора n; 1;::: n 1 определяют ориентацию Rn.

Интеграл от n-формы !=f по множеству D в стандартно ориентированном пространстве Rn с формой объема =dx1 ^:::^ dxn определяется равенством

Z !=Z f=Z f(x1;:::xn)dx1 :::dxn :

                                   D               D               D

При изменении ориентации ( ! ) интеграл меняет знак.

Интеграл от k-формы ! по ориентированной k-мерной поверхности  с параметризацией :Rk !Rn определяется равенством

                                                               !=Z !;                       = (D):

D

Интеграл от формы {F по гиперповерхности называется потоком вектора F через поверхности . В трехмерном случае

ZZ {F =ZZ F dS=ZZ Pdy^dz+Qdz^dx+Rdx^dy;

где F=(P;Q;R);dS=(dy^dz;dz^dx;dx^dy). Равенство

ZZ F dS=ZZ F ndS;

где n — вектор единичной нормали, согласованный с ориентацией поверхности , устанавливает связь поверхностных интегралов 2го и 1-го родов.

Физический смысл интеграла

ZZ v dS

— количество жидкости, протекающей через со скоростью v в единицу времени.

6.2  Примеры решения задач

Задача                     Найти поток вектора F=(x2 +y2 +z2)~i через [боковую]

поверхность конуса y=px2 +z2 ; 06y6h, ориентированную внешней нормалью.

Решение. В качестве локальных координат на конусе можно было бы выбрать x и z. Согласование с заданной ориентацией диктует именно этот порядок локальных координат: (x;z) (вектор внешней нормали составляет с осью y тупой угол). Более удобно сразу воспользоваться переходом к полярным координатам. Таким образом, приходим к следующей параметризация поверхности

x=rcos’; y=r; z=rsin’; r2[0:h]; ’2[0;2 );

с ориентацией, определенной порядком (r;’) локальных координат (ввиду, например, равенства dx^dz=rdr^d’ и положительности r). Тогда, искомый поток равен

ZZ(x2 +y2 +z2)dz^dx= ZZ 2r2 rdr^d’

[0;h] [0;2 ]

                                                                                                               2             h

= ZZ 2r3 drd’= 2Z d’Z r3 dr= h4 :

                                                      [0;h] [0;2 ]                                       0            0

Задача        Найти поверхностный интеграл

ZZ dy^dz dz^dx dx^dy

+ + ; x y z

где      — поверхность эллипсоида

x2 y2 z2

2 +b2 +c2 =1; a

ориентированная внешней нормалью.

Решение. Параметризуем поверхность эллипсоида равенствами

x=acos’sin; y=bsin’sin; z=ccos;

’2[0;2 ); 2[0; ]: Ориентация внешней нормалью приводит к следующему порядку локальных координат: (;’). Обозначая параметризацию через , найдем сужение базисных форм на поверхность эллипсоида:

(dy^dz)=bc(cos’sind’+sin’cosd)^( sin )d

=bcsin2 cos’d ^d’

(dz^dx)=ac( sin )d ^( sin’sind’+cos’cosd)

=acsin2 sin’d ^d’

(dx^dy)=ab( sin’sind’+cos’cosd)

^(cos’sind’+sin’cosd) =abcos sind^d’:

Тогда

ZZ dy^dz+dz^dx+dx^dy

x                                    y                   z

                                                    bc                ac

= ZZ sin + sin a      b

[0; ] [0;2 ]

ab

+ sin d ^d’ c

bc ac ab

= + + ZZ sindd’= a b c

[0; ] [0;2 ]

bc ac ab                                   2

+ + Z sindZ d’ a b c

                                     0                       0

bc ac ab

=4 + + : a b c

7  Геометрия поверхностей

7.1  Теоретический материал

Первая квадратичная форма g поверхности это функция, вычисляющая квадрат длины касательного вектора v к поверхности

g(v)=jvj2 :

Если u = @u@r ; v = @v@r — базис касательных векторов, отвечающих локальным координатам u;v на поверхности (r — радиус-вектор точки поверхности), то

g=dl2 =Edu2 +2Fdudv+Gdv2 ;

где du;dv — дуальный базис координатных 1-форм и

                                                  E=j uj2 ; F= u                                v ; G=j vj2 :

Матрица

E  F g=

F  G

называется метрическим тензором поверхности       .

Если — единичный вектор нормали к поверхности, то его производная Dv по касательному вектору v снова будет касательным вектором к поверхности. Отображение касательных векторов

L: v!7 Dv

называется отображением Вейнгартена. Это отображение симметрично

L(v) w=vL(w):

Квадратичная форма

b(v)=L(v) v

называется второй квадратичной формой поверхности . В координатном виде

b=Ldu2 +2Mdudv+Ndv2 ;

где

Величина

@2r

L= 2 @u

;

@2r

M=

@u@v

@2r

N= 2 @v

:

b(v)

{(v)=

g(v)

называется нормальной кривизной поверхности в направлении касательного вектора v.

Собственные векторы отображения Вейнгартена называются главными направлениями на поверхности. Нормальные кривизны в главных направлениях совпадают с соответствующими собственными значениями отображения Вейнгартена и называются главными кривизнами. След отображения Вейнгартена, равный сумме главных кривизн, называется средней кривизной, а определитель отображения Вейнгартена, равный произведению главных кривизн, называется полной или Гауссовой кривизной. При этом

                                                   GL 2FM+EN                                             LN M2

H=trL= EG F 2 ; K=detL=EG F 2 :

В случае полугеодезических координат, то есть ровно тех, в которых первая квадратичная форма поверхности имеет вид

dl2 =du2 +Gdv2

полная кривизна может быть вычислена по формуле

(pG)00uu

K= p :

G

7.2  Примеры решения задач

Задача Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности z=2xy. Вычислить ее среднюю и гауссову кривизну в точке

(0;0;0).

Решение:

В качестве локальных координат на поверхности выбираем

(x;y):

=y1: x

@2xyA

Находим касательные вектора:

1 @

x = =001;

@x @2yA

Тогда

0 @

y = =011:

@y @2xA

                        E= x2 =1+4y2 ; F= x                                                    y =4xy; G= y2 =1+4x2

и первая квадратичнсая форма определена равенством

dl2 =Edx2 +2Fdxdy+Gdy2 :

Вычислим, далее:

@x@2 2 =~0; @x@y@2 =0@020A1; @y@2 2 =~0:

Найдем единичный нормальный вектор к поверхности:

~n= x y = ( 2y; 2x;1) : j x yj p1+4x2 +4y2

Тогда

               @2                                            @2                                     2

L=@x2 ~n=0; M=@x@y ~n=1+4x2 +4y2 ;

@2

N=@x2 ~n=0:

и вторая квадратичная форма определена равенством

b=Ldx2 +2Mdxdy+Ndy2 :

В точке (0;0;0) матрица метрического тензора равна

E  F           1 0

                                                        g=                     =                 :

F  G           0 1

Тогда матрица отображения Вейнгартена равна

L=g 1 L M = 0 2 :

                                                                           M N                2 0

Средняя и полная кривизны в этой точке, соответственно, равны

H=trL=0; K=detL= 4:

Задача Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
302 Kb
Скачали:
0