Общие свойства систем линейных алгебраических уравнений. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений. Критерий существования нетривиального решения однородной системы

Страницы работы

Фрагмент текста работы

ортогональным преобразованием подобия к диагональному виду.

5.  Привести унитарным преобразованием подобия к диагональному виду самосопряженную матрицу

 , где i — мнимая единицу, т.е. i2 = −1.

6.  Привести унитарным преобразованием подобия к диагональному виду ортогональную матрицу

 .

Квадратичные формы. Кривые и поверхности второго порядка

1.Выразить квадратичную форму

,

через координаты вектора f~. Решение.

                     µ           ¶ µ ¶          µ              ¶

Af~ =          1 2      ·     x      =      x + 2y     ,

                          2 1            y              2x + y

(Af,~ f~) = (x + 2y)x + (2x + y)y = x2 + 4xy + y2.

2.  Найти симметричную 3 × 3-матрицу A, отвечающую квадратичной форме Φ(x,y,z) = x2 − 3xy + yz:

Φ(x,y,z) = x2 − 3xy + yz = (Af,~ f~), f~ = (x,y,z)t. Решение. Для симметричной матрицы

 ,

и вектора f~ = (x,y,z)t справедливо равенство

(Af,~ f~) = ax2 + dy2 + fz2 + 2bxy + 2cxz + 2eyz.

Сравнивая последнее выражение с исходной квадратичной формой Φ(x,y,z) = x2 − 3xy + yz, получим: , т.е.

 .

3.  Привести квадратичную форму

Φ(x,y,z) = x2 + 2xy + 2y2 + 4xz + 5z2

к сумме квадратов методом Лагранжа (выделением полных квадратов). Определить какого типа поверхность задает уравнение Φ(x,y,z) = 1.

Решение. Выделим полный квадрат из слагаемых содержащих переменную x:

Φ = (x + y + 2z)2 + y2 + z2 − 4yz.

Сделаем замену переменных:

,

и получим Φ = x21+y12+z12−4y1z1. Выделив в последнем выражении полный квадрат, прийдем к равенству

.

Сделав замену переменной

,

окончательно получим Φ = x22 + y22 − 3z22. Уравнение Φ(x,y,z) = 1 ⇐⇒ x22 + y22 − 3z22 = 1 задает однополстной гиперболоид. Отметим, что метод Лагранжа не дает возможности определить полуоси гиперболоида. Разные замены переменных могут привести к уравнению α1x˜2 + α2y˜2 + α3z˜2 = 1, и коэффициенты α1, α2 и α3 зависят от используемой замены переменных. При этом, согласно закону инерции квадратичных форм, число положительных, отрицательных и нулевых чисел среди α1, α2 и α3 не зависит от замены переменных, что и позволяет определить тип поверхности.

4. Привести квадратичную форму

Φ(x,y,z) = 2x2 + y2 − 4xy − 4yz

к сумме квадратов при помощи ортогонального преобразования. Определить какого типа поверхность задает уравнение Φ(x,y,z) = 1 и найти метрические характеристики этой поверхности.

Решение. Квадратичная форма Φ(x,y,z) = 2x2 + y2 − 4xy − 4yz может быть записана в виде

Φ(x,y,z) = (Af,~ f~), где .

Приведем матрицу A ортогональным преобразованием подобия к диагональному виду. Это заведомо возможно, т.к. матрица симметрична. Характеристический многочлен матрицы A имеет вид

¯

.

Можно найти нормированные собственные векторы,

, отвечающие собственным значениям

λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 4. Векторы  автоматически оказываются ортогональными друг другу и образуют ортонормированный базис в R3.

Составим теперь ортогональную матрицу T из столбцов:

 .

Делая в квадратичной форме Φ(x,y,z) = 2x2+y2−4xy−4yz замену переменных

,

получим Φ = λ1x21 + λ2y12 + λ3z12 = x21 − 2y12 + 4z12. Уравнение Φ(x,y,z) = 1 ⇐⇒ x21 − 2y12 + 4z12 = 1 задает однополостной гиперболоид с полуосями  (вещественными) и  (мнимой).

5.  Методом Лагранжа преобразовать уравнение x1x2 + x1 + x2 = 1 к стандартному виду и определить тип кривой. Решение. Сделав следующее преобразование координат

получим уравнение . Выделяя в этом уравнении полный квадрат:

,

и делая новую замену переменных:

,

получаем

.

Таким образом, уравнение задает гиперболу. Определить ее полуоси методом Лагранжа невозможно.

6.  Ортогональным преобразованием и сдвигом преобразовать уравнение x2 + y2 + z2 − 2xy − 2zx − 2yz + 2x = 1 к стандартному виду, определить тип поверхности и ее метрические характеристики. Решение. Прежде всего приведем квадратичную форму Φ(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − 2xy − 2zx − 2yz к каноническому виду ортогональным преобразованием. Квадратичная форма Φ(x,y,z) может быть записана в виде

.

Диагонализуем симметричную матрицу A ортогональным подобным преобразованием. Характеристический многочлен матрицы A имеет вид dA(λ) = −(λ − 2)2(λ + 1). Решая задачу (A − 2I)~x = ~0, получим общее решение ~x = C1(−1,1,0)t +

C2(−1,0,1), ортогонализуя и нормируя полученную фундаментальную систему решений, получаем два ортогональных и нормированных собственных вектора, отвечающих собственному значению

.

Третий нормированный собственный вектор, ортогональный двум предыдущим, соответствует собственному значению

(1/     3,1/    3,1/    3)t. Далее, составим ортогональную матрицу T из столбцов:

 .

При замене переменных

,

уравнение переходит в следующее:

1.  Выделим в последнем уравнении полные квадраты:

.

Сделав замену переменной

,

приходим к уравнению 2x22 + 2y22 z22 = 1 однополостного гиперболоида с полуосями  (последняя полуось — мнимая). Задачи для самостоятельного решения 1. Выразить квадратичную форму

,

через координаты вектора f~.

2.  Найти симметричную 3 × 3-матрицу A, отвечающую квадратичной форме

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Высшая алгебра
Тип:
Задания на контрольные работы
Размер файла:
524 Kb
Скачали:
0