Составление математической модели процесса "обучение на работе"

Задача обучениe на работе.

Составить математическую модель процесса, который мы условно будем называть обучение на работе.

Цель этого примера состоит в разъяснении того, что модель линейного программирования может охватывать линию разнообразных условий, которые так характерны для практических применений.

Задача.

Согласно контракту завод должен произвести 1200 единиц товара "C" ,причем расписание поставок r_t .указано в таблице 4.

Конец недели	1	2	3	4	5
Количество единиц	r1=100	r2=200	r3=300	r4=400	r5=200

Какой план найма, увольнения, производства и хранения должен принять производитель, чтобы минимизировать затраты выполнения контракта при следующих условиях:

1. Каждая единица продукции не поставленная в срок влечет штраф Р=30д.е. за каждую неделю, до тех пор пока поставка не будет выполнена;
2. Любая единица продукции произведенная раньше срока требует хранения расходы на которые составляют S=10 д.е. в неделю;
3. Все требуемые поставки должны быть выполнены в конце 5^й недели;
4. В начале имеется G=20 рабочих и H=10 единиц товара "C" в наличии;l
5. Каждый рабочий использованный на производстве в течении недели может выпускать К=8 единиц товара "C";
6. Каждый рабочий использованный для обучения для обучения учеников в течении недели может обучить: L-1=5 новых рабочих, т.е. произвести L-обученных рабочих включая себя (L=6);
7. Зарплата рабочего составляет m=100 д.е. в неделю не зависимо от его занятости;
8. Зарплата рабочего и L-1 его учеников в процессе обучения в течении одной недели составляет n=600д.е;
9. Стоимость увольнения одного рабочего составляет f=100 д.е;

Выбираем в качестве единицы времени период равный одной неделе.

В начале каждой недели мы определили число рабочих и единиц товара "C" необходимое для того, чтобы осуществить технологический процесс в течении этой недели.

В соответствии с этим каждый из 6-^ти моментов времени t=0,1,2,3,4,5 должны быть составлены уравнения материального баланса для следующих двух ингредиентов.

Ингредиент	Обозначение
Рабочие	Wt
Товар	Lt

К этим уравнениям добавятся уравнение стоимости для стоимостного ингредиента в течении каждого из 5 недельных периодов будут осуществляться следующие технологические процессы:

1. Обучение Тt.
2. Производство Рt.
3. Простой It
4. Увольнение Ft
5. Хранение St
6. Выплата штрафа Dt (за нехватку)

Задача состоит в том, чтобы решить какой план найма, увольнения производства и хранения должен применять производитель чтобы минимизировать затраты выполнения контракта.

Построение моделей начнем с ТП состоящего в обучении учеников рабочим в течение недели.

Схему этого процесса представим на рисунке.

В качестве затрат, этот ТП требует два ингредиента: один рабочий в момент времени t и n=600 д.е. зарплата рабочего и L-1 его учеников в процессе обучения в течении 1^й недели. В качестве выпуска он производит 1 ингредиент обученных рабочих включая себя в момент времени t+1.

Схема технологического процесса производство Рt. 

В качестве затрат, этот технологический процесс требует два ингредиента: один рабочий в момент времени t и m=100д.е. зарплата рабочего в неделю независимо от его занятости.

В качестве выпуска он производит 2 ингредиента: один рабочий в момент времени t+1 и единица товара произведенная в момент времени t+1.

Схема технологического процесса простоя It.

В качестве затрат, этот ТП требует два ингредиента: один рабочий в момент времени t и m1=100 д.е. зарплата рабочего в неделю независимо от его занятости. В качестве выпуска он производит ингредиент: один рабочий в момент времени t+1.

Схема технологического процесса увольнение Ft.

В качестве затрат, этот ТП требует два ингредиента: один рабочий в момент времени t и стоимость увольнение одного рабочего (выходное пособие) f . В качестве выпуска он ничего не производит.

Схема технологического процесса хранения St.

В качестве затрат, этот ТП требует два ингредиента: количество единиц товара в момент времени t, а также любая единица продукции, произведенная раньше срока требует хранения. Расходы по которым составляют S=10д.е. в неделю. В качестве выпуска он производит один ингредиент -количество единиц товара в момент времени t.

Схема технологического процесса выплата штрафа Dt.

В качестве затрат, этот ТП требует два ингредиента: количество единиц товара в момент времени t, а также каждая единица продукции, не поставленная в срок влечет штраф за каждую неделю,  до тех пор пока поставка не будет выполнена. В качестве выпуска он производит один ингредиент -количество единиц товара в момент времени t. Выплата штрафа это технологический процесс, состоящий в том, что дефицит временно покрывается заимствованием на рынке 1 единицы товара, которая должна быть возвращена на следующей неделе по цене Р д.е. Штраф на пятой неделе опускается в виде условия в),  которое утверждает, что все поставки должны быть выполнены к концу 5-^й недели. На 6- ^й неделе должно быть применено увольнение Рt, для того чтобы избавиться и от всех рабочих и завершить программу.

Шаг 1. Построение модели.

Перечень технологических процессов.

1. Обучение Tt.
2. Производство Рt.
3. Простой It.
4. Увольнение Ft.
5. Хранение St.
6. Выплата штрафов Dt.

Шаг 2.

Перечень ингредиентов.

1. Рабочие в начале недели W₀.
2. Товар в начале недели С₀.
3. Рабочие в конце первой недели W1.
4. Единицы товара "C" в конце первой недели С1.
5. Рабочие в конце второй недели W2.
6. Единицы товара "C" в конце второй недели С2.
7. Рабочие в конце третьей недели W3.
8. Единицы товара "C" в конце третьей недели С3.
9. Рабочие в конце четвертой недели W4.
10. Единицы товара "C" в конце четвертой недели С4.
11. Рабочие в конце пятой недели W5.
12. Единицы товара "C" в конце пятой недели С5.
13. Стоимость в д.е.

Шаг 3.

Расположим коэффициенты затрат выпуска в форме таблицы т.е. составим модель обучения на работе.

Каждому технологическому процессу соответствует вертикальный столбец, а каждому ингредиенту горизонтальная строка. На пересечении каждого столбца и каждой строки помещен коэффициент затрат выпуска со знаком того ингредиента, который требуется единичной интенсивностью технологического процесса.

Шаг 4. Экзогенные потоки поступающие в систему и требуемые от системы как целого.

Денежные затраты пока не определены и будут обозначаться Z. Они должны быть как можно меньше. Добавим к таблице экзогенные потоки. Дополним эту таблицу обозначением интенсивности каждого технологического процесса в виде Х соответствующего номера.

Шаг 5. Модель в табличной форме готова.

                  Первая неделя

1Х₁₁+1Х₁₂+1Х₁₃+1Х₁₄                                                         =20

                                   +1Х₁₅ -1Х₁₆                                                                                          =10

                   Вторая неделя

-6Х₁₁-1Х₁₂-1Х_{13 …………….}                 +1Х₂₁+1Х₂₂+1Х₂₃+1Х₂₄ =0

          8Х₁₂                   -1Х₁₅+Х₁₆                                                                 +1Х₂₅-1Х₂₆ =100

                   Третья неделя

-6Х₂₁-1Х₂₂-1Х_{23 …………….}                 +1Х₃₁+1Х₃₂+1Х₃₃+1Х₃₄ =0

          8Х_{22…………….}     -1Х₂₅+1Х₂₆                                                                 +1Х₃₅-1Х₃₆ =200

                   Четвертая  неделя

-6Х₃₁-1Х₃₂-1Х_{33 …………….}                 +1Х₄₁+1Х₄₂+1Х₄₃+1Х₄₄ =0

          8Х_{32…………….}     -1Х₃₅+1Х₃₆                                                                +1Х₄₅-1Х₄₆ =300

                   Пятая неделя

-6Х₄₁-1Х₄₂-1Х_{43 …………….}                 +1Х₅₁+1Х₅₂+1Х₅₃+1Х₅₄ =0

         8Х_{42…………….}      -1Х₄₅+1Х₄₆                                                                +1Х₅₅-1Х₅₆ =400

                   Шестая неделя

-6Х₅₁-1Х₅₂-1Х_{53 …………….}                                             +1Х₆₄ =0

         8Х_{52…………….} -1Х₅₅+1Х₅₆                                                        +1Х₆₄ =200

                    600Х₁₁+100Х₁₂+100Х₁₃+100Х₁₄+10Х₁₅+30Х₁₆+

                    600Х₂₁+100Х₂₂+100Х₂₃+100Х₂₄+10Х₂₅+30Х₂₆+

                    600Х₃₁+100Х₃₂+100Х₃₃+100Х₃₄+10Х₃₅+30Х₃₆+

                    600Х₄₁+100Х₄₂+100Х₄₃+100Х₄₄+10Х₄₅+30Х₄₆+

                    600Х₅₁+100Х₅₂+100Х₅₃+100Х₅₄+10Х₅₅+30Х₅₆+

                                                           100Х₆₄                                         =Z(min).

Таким образом модель состоит из следующих частей:

1. список технологических процессов системы и их неизвестных интенсивностей
2. список ингредиентов системы
3. экзогенные потоки системы
4. уравнение материального баланса Хi>=0.

Для нашего конкретного примера задача состоит в том, чтобы определить интенсивности технологических процессов (Х₁, Х₂,,,,, Х₆) которые

1. неотрицательные
2. удовлетворяют уравнению материального баланса
3. минимизируют величину Z.