Определение параметров кусочно-линейной и нелинейной модели диода: Методические указания к решению задач, страница 2

                                        (2)

где I_s – тепловой ток насыщения p-n-перехода, неизменный для данной температуры; m – коэффициент, определяемый свойствами конкретного p-n-перехода (его значения изменяются от 1 до нескольких единиц); φ_т – тепловой (температурный) потенциал. Зависимость φ_т от температуры описывается выражением

где k = 1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура, К; е = 1,6·10^-19 Кл – заряд электрона.

При нормальной температуре (T = 300 К) φ_т ≈ 0,026 В.

Таким образом, нашей задачей является определение неизвестных пока параметров нелинейной модели диода r_б, r_ут, I_s и m.

Сопротивление утечки r_ут определяется так же, как и для кусочно-линейной модели диода.

Параметры r_б и m определяются по прямой ветви ВАХ с помощью так называемого метода выравнивания характеристик. Суть метода заключается в том, что нелинейная зависимость I = f (U), описываемая нелинейным уравнением, заменяется эквивалентной линейной зависимостью в новой системе координат (назовем их условно x и y). Эта эквивалентная зависимость описывается классическим уравнением прямой y= b+ kx с легко определяемыми параметрами b и k. Найдя эти параметры, можно перейти к исходному нелинейному уравнению и определить его коэффициенты.

Проиллюстрируем данный метод на примере – найдем параметры нелинейной модели диода (рис. 3), прямая ветвь ВАХ которого представлена на рис. 4.

Уравнение (2) можно переписать в виде

                                         (3)

С учетом выражения (3) внешнее напряжение на диоде U_д можно связать с его током I_д следующим соотношением:

      (4)

Показанное в выражении (4) упрощение возможно лишь в случае включения диода в прямом направлении, когда тепловым током насыщения I_s и током утечки I_ут можно пренебречь по сравнению с током p-n-перехода    I_p-n (он превышает их на несколько порядков величины). Поэтому и можно считать, что I_д = I_p-n + I_ут ≈ I_p-n, а I_p-n + I_s ≈ I_p-n ≈ I_д.

Рис. 4. К определению параметров нелинейной модели диода по прямой ветви его вольт-амперной характеристики

Найти параметры r_б и m можно, вспомнив, как определяется понятие дифференциального сопротивления – . Если имеется графическая зависимость I = f (U) (ВАХ), дифференциальное сопротивление можно определить по наклону касательной, проведенной к этой ВАХ в какой-либо ее точке. Очевидно, что при нелинейном характере зависимости I = f (U), характерном для диода, значение r_диф будет различно для различных точек этой зависимости.

Найдем выражение для дифференциального сопротивления диода, взяв производную от правой части выражения (4) по току I_д:

                            (5)

Если представить, что r_диф – это зависимая переменная, а величина  – независимая переменная, то графиком функции  будет прямая. Действительно, уравнение (5) является по сути уравнением прямой вида y= b+ kx, где y = r_диф, , а величины r_б и mφ_т – коэффициенты b и k соответственно. Именно эти коэффициенты мы и будем искать.

Так как графиком функции y= b+ kx является прямая, для его построения достаточно найти две принадлежащие этой прямой точки. Отметим на прямой ветви вольт-амперной характеристики диода две произвольные точки 1 и 2 (рис. 4). Для большей точности определения параметров r_б и mφ_т точки следует выбирать на участках ВАХ, имеющих значительно отличающуюся крутизну. Проведем через эти точки две касательные к характеристике. Значения дифференциальных сопротивлений определяются как котангенсы углов наклона этих касательных (при этом необходимо учитывать различие масштабов по осям тока и напряжения), но можно поступить и так, как мы определяли r_пр в кусочно-линейной модели диода. Величину r_диф можно найти как отношение длин катетов прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является проведенная касательная (рис. 4):

где r_диф1, r_диф2 – значения дифференциального сопротивления диода в точках 1 и 2 соответственно.

Для показанной на рис. 4 характеристики

Величины  для выбранных точек 1 и 2 составляют

Построим зависимость (5) в системе координат . Для этого отметим две точки (назовем их условно 1’ и 2’) с найденными только что координатами ,  и соединим их прямой (рис. 5). Точка пересечения этой прямой с осью r_диф определяет значение r_б. Действительно, когда второе слагаемое в выражении (5) обращается в ноль, т.е. когда = 0 и мы находимся на оси r_диф, r_диф = r_б. Для показанной на рис. 5 зависимости r_б ≈ 2 Ом.

Значение произведения mφ_т в соответствии с выражением (5), являющимся для системы координат  уравнением прямой, найдем по отношению разности координат двух точек на этой прямой. Удобнее использовать уже известные нам координаты точек 1’ и 2’. Тогда

Зная величину φ_т для данной температуры, можно отдельно найти значение коэффициента m. Например, в нашем случае при T = 293 К, когда φ_т ≈ 0,025 В, m = 0,16/0,025 = 6,4.

Рис. 5. Зависимость rдиф = f (1/Iд), соответствующая вольт-амперной характеристике диода, приведенной на рис. 4

Значение теплового тока насыщения p-n-перехода I_s найдем, преобразовав выражение (2) и подставив в него координаты произвольной точки на ВАХ диода (например, точки 2) и найденные параметры r_б и mφ_т. При этом, исходя из нелинейной модели диода (рис. 3), в качестве напряжения на p-n-переходе U_p-n мы будем подставлять разность внешнего напряжения на диоде U_д и падения напряжения на сопротивлении r_б: