Применение ЭВМ на отдельных этапах проектирования электронных схем. Этап анализа и оптимизации параметров схемы, страница 3

Номер ветви	Тип элемента	Начальный узел	Конечный узел	Масштаб. параметр
1	E	1	6	1
2	Е	5	6	4
3	C	1	3	0.5
4	С	1	2	1
5	R	2	5	5
6	R	3	6	2
7	R	3	4	1
8	L	2	4	5
9	I	6	4	5

Приведенный способ описания данных анализируемой схемы не является единственным. Существуют и другие способы представления.

2.2 Компонентные уравнения

Каждую схему характеризуют определенный, присущий только ей ход процессов. Эта индивидуальность свойств связана с совокупностью признаков, характерных для неё. Очевидно такими отличительными признаками являются:

- тип и значение параметров элементов в ветвях схемы (компонентные данные);

- способ соединения ветвей между собой (топологические данные).

Следовательно, математическую модель можно представить компонентными и топологическими данными.

Компонентные уравнения выражают зависимость между током и напряжением на элементах схемы. Приведем эти зависимости для разных типов элементов:

- линейный резистивный элемент:

;

- линейный ёмкостный элемент;

 или ;

- линейный индуктивный элемент:

 или

- управляемый источник

, где -управляемая величина (ток или напряжение управляемого источника);

-управляющая величина (ток или напряжение управляющей ветви);

2.3 Топологические уравнения

Говоря о топологических уравнения, будем иметь в виду уравнения, связанные лишь с топологией цепи и не отражающие типы элементов в ветвях и их параметры.

Топология цепи может быть отражена с помощью графа цепи. При построении графа каждый узел в цепи представляется узлом в графе и каждая ветвь цепи – ветвью (линией), соединяющей соответствующие узлы графа и имеющей то же направление, что и направление тока в ветви. На рисунке 2.2 представлен граф цепи, соответствующей рисунку 2.1.

а)	б)
Рисунок 2.2

Введем на графе некоторые понятия.

Дерево графа – это совокупность его ветвей, в которой представлены все узлы, но при этом не образуется ни одного замкнутого контура. На рисунке 2.2б приведен пример одного из возможных деревьев графа цепи.

Ребра графа – это совокупность ветвей, вошедших в дерево графа. На рисунке 2.2б они изображены сплошными линиями.

Совокупность ветвей, не вошедших в дерево, образует дополнение дерева, входящие в него ветви называют хордами. (На рисунке 2.2б они обозначены пунктирной линией).

Между числом ребер и количеством узлов в графе существует определенная связь Если количество узлов , то число ребер равно . Подсоединение любой хорды к графу приводит к образованию замкнутого контура. Поэтому число хорд равно числу независимых контуров в схеме и определяется как , где -число ветвей в графе.

Сечением называют замкнутую линию, разделяющую граф на две несвязанные частит. Если такая линия пересекает только одно ребро и часть хорд, то его называют главным сечением. На рисунке 2.2б показан пример построения главных сечений. Здесь главным сечением присвоены номера тех ребер, которые пересекают эти сечение.

Сформируем первый закон Кирхгоффа (ЗКТ) для главных сечений: алгебраическая сумма токов относительно сечения равна нулю. Получим систему уравнений для токов главных сечений:

Разрешим эти уравнения относительно токов главных сечений:

Запишем эту систему уравнений в матричной форме:

(2.1)

Или, вводя обозначение для входящих в выражение матриц, получим в общем виде для произвольной схемы:

,

(2.2)

где -вектор токов ребер;

-вектор токов хорд;

-матрица главных сечений.

Уравнение (2.2) выражает зависимость токов ребер от токов хорд и представляет собой топологическое уравнение по первому закону Кирхгофа (ЗКТ) для произвольной цепи.

Выпишем матрицу  для рассматриваемой цепи.