Математика \ Высшая математика

Числовые и степенные ряды. Определение ряда и его суммы. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости. Геометрический ряд и гармонический ряд, страница 4

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в точке х₀, то он сходится для всех значений х, удовлетворяющих неравенству . Если же степенной ряд (2) расходится в точке x₀, то он расходится для всех значений x, для которых .

Из теоремы Абеля следует, что существует интервал (-R;R) во всех точках которого ряд (2) сходится и вне которого ряд (2) расходится. Этот интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а число R – радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по одной из формул:

Пример 1. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Здесь , . Воспользуемся формулой . Итак, ряд сходится на интервале .

Пример 2. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Воспользуемся формулой , здесь , получим . Следовательно, ряд сходится в интервале .

2.3 Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд некоторых элементарных функций

Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в окрестности точки х₀.

Определение 1. Ряд вида

(1)

называется рядом Тейлора функции в точке х₀.

Если х₀=0, то ряд вида

(2)

называется рядом Маклорена функции.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки х₀. Составим ряд Тейлора (1) для этой функции.

Вообще говоря, если ряд (1) сходится, то его сумма S(x) не обязана совпадать с функцией .

Укажем условия при выполнении которых сумма ряда Тейлора S(x) совпадает с функцией по которой построен данный ряд. В этом случае говорят, что функция раскладывается в ряд Тейлора.

Теорема. Если функция имеет в некотором промежутке производные всех порядков, ограниченные одним и тем же числом M>0, то есть если при любом , то функция в каждой точке указанного промежутка разложима в ряд Тейлора.

Перейдем к разложению в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

1. Разложим функцию =е^х. Для того, чтобы разложить ее в ряд Маклорена найдем значения и всех ее производных при х = 0.

=е^х, =1

Все производные =е^х равномерно ограничены на любом конечном интервале [a,b]. Действительно, . Тогда по теореме =е^храскладывается в ряд Маклорена вида

(3)

2. Аналогично может быть получено разложение в ряд Маклорена следующих функций =cos x, =sin x,

(4)

(5)

Радиусы сходимости R рядов (3), (4), (5) равны +∞.

Укажем теперь ряды Маклорена, которые сходятся на промежутке (-1;1). Ряд вида

(6)

называется биномиальным.

При m=-1 из ряда (6) получаем:

(7)

Интегрируя ряд (7) по х от 0 до t, где -1<t<1, получим

(8)

Положим в (7) x=t² и проинтегрируем полученный ряд по t от 0 до х, -1<x<1, получим , итак

(9)

2.4 Применение рядов в приближенных вычислениях

Для того чтобы найти приближенное значение функции можно разложить эту функцию в ряд Маклорена и в качестве ее приближенного значения взять частную сумму ряда.

Если функция раскладывается в знакочередующийся ряд, то погрешность вычисления будет не больше первого отброшенного ряда (см п.3).

Пример. Вычислить cos10⁰ с точностью 10^-4.

Решение. Используем ряд (4) при . Найдем .