Электромеханические аналоги. Общность математических уравнений, описывающих колебания в механических системах и колебания тока в электрических цепях

ЛЕКЦИЯ 10.

Электромеханические аналоги.

Электроакустические преобразователи – устройства для преобразования акустических колебаний среды в электрические сигналы и наоборот, электрических сигналов в акустические колебания.

1.  Микрофоны;

2.  Громкоговорители, головные телефоны.

Существует общность математических уравнений, описывающих колебания в механических системах и колебания тока в электрических цепях.

- электрическая цепь

,                                  (10.1)

Уравнение напряжения, описывает вынужденные колебания в электрическом контуре.

- механическая система

,                                 (10.2)

Уравнение сил для линейной механической колебательной системы с одной степенью свободы.

где L, R, C – индуктивность, активное сопротивление, емкость совпадают с m, r, C – массой, коэффициентом трения, гибкостью. Искомая функция i совпадает с u, а известная u c f.

Принцип электромеханических аналогий состоит в следующем:

1.  Устанавливаются правила замены параметров механической системы – электрическими параметрами цепи переменного тока и электрическими колебательными величинами.

2.  Формируются правила соединения электрических эквивалентных элементов, при соблюдении которых поведение электрических колебательных величин (i, u) полностью  соответствует поведению элементов движения и сил в замененной системе.

3. Решается электротехническая задача с помощью метода комплексных амплитуд (или операторного исчисления). Полученное решение интерпретируется как решение для исходной механической системы обратным переходом от электрических к механическим величинам.

На основании (10.1) и (10.2) получается система замены механических величин электрическими.

Электрическая величина	Механическая величина	Условное обозначение
Напряжение                            u Ток                                           i Количество электричества    q	Сила                                     F Скорость                             u Смещение (отклонение)    x
Индуктивность                       L	Масса                                  m
Емкость                                   С	Гибкость                             См Упругость
Активное сопротивление	Коэффициент потерь (трения)  rm
Полное электрическое сопротивление	Полное механическое сопротивление
Энергия магнитного поля	Кинетическая энергия
Энергия электрического поля	Потенциальная энергия

Эта замена (аналогии) носит название первой системы электромеханических аналогий.

          Электромеханические аналоги соединения элементов.

Правила и схемы электрических и механических соединений

Механический элемент	Электрический аналог	Формула
Cм1 См2 u     F	u F        Cм1                        См2
Cм1                    См2 u       F	u        Cм1                       F См2
rм1 rм2 u      F	u     F        rм1                 rм2
rм1                                      rм2 u     F	u       rм1 F  rм2

При соединении двух масс общая масса равна их сумме m=m₁+m₂ – соответствует последовательному соединению индуктивностей.

Существует 3 правила, достаточные для составления эквивалентных схем по изображению механической системы:

1.  Элементы, образующие узел, соединяются в электрической схеме последовательно;

2.  Элементы, образующие цепочку – параллельно;

3.  Масса изображается в виде двухполюсного элемента, один конец которого связан с неподвижной опорой.

Некоторые электрические аналоги механических систем.

Механические	Электрические
F Cм                                                  m	v       u F       Cм                    m                                                                                                                                                        a)
F1   u1                              F2   u2	u1                       u2 F1                                 F2                             б)

Из а) видно, что аналогом контура из параллельно соединенных электрических элементов будет служить соединение механических элементов цепочкой, т.е. последовательное соединение. Аналогом для рычага служит трансформатор.  – отношение плеч рычага соответствует коэффициенту трансформации n.

Возьмем механическую колебательную систему с параллельным соединением механических элементов (т.е. узел) и приложить к их узлу силу F, тогда уравнение вынужденных колебаний будет иметь вид:

,                                   (10.2)

Аналогичное ему выражение для вынужденных колебаний электрической системы:

,                                      (10.3)

(10.3)соответствует контуру с последовательным соединением электрических элементов.

Сm                                rm      Сm              rm         m                           m                 F      u            F      u     Механическая колебательная система

;

u         m   F                          rm Cm Электрическая колебательная система

Таким образом узел механических сопротивлений и контур из последовательно соединенных электрических сопротивлений аналогичны друг другу. Тогда на частоте ω электрическое сопротивление

,                                         (10.4)

где

;                             (10.5)

механическое сопротивление

,                                      (10.6)

где

;                                (10.7)

 

u

 

f, Гц

                                                200                                                            5000                                                                                                                                                              

На рисунке изображена зависимость скорости колебаний от частоты при постоянной амплитуде приложенной силы для рассмотренной механической системы.

Для такой системы резонансная частота ; .

Добротность

,                                    (10.8)

где – ширина полосы пропускания на уровне 0,707.

            Электроакустические аналоги.

P(акустическое давление)→U(электрическое напряжение);

υ(объемная скорость) → i (электрический ток);

 (акустическое сопротивление) → (электрическое сопротивление).

Большинство применяемых в электроакустической технике преобразователей – обратимы, т.е. способны выполнять электромеханические преобразования в обоих направлениях, т.е. потери мощности при прямой и обратной передачах энергии одинаковы. Это принцип взаимности или обратимости.

По характеру колебаний электроакустические колебания относятся к электромеханическим, но не содержат масс, пружин, гибких подвесов, трущихся деталей. Все эти функции осуществляется частицами атмосферной среды, находящейся в объемах со звукоизоляцией. Эти объемы соединены с внешним пространством, трубами, отверстиями, звукопроводами. Классический представитель – резонатор Гельмгольца.

Электромеханические, электроакустические аналоги представлены ниже