Численное дифференцирование. Аппроксимационные формулы. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка

                                           Содержание

1. Введение............................................................................................. 3

2. Численное дифференцирование. Аппроксимационные формулы 5

3. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Метод Эйлера......................................................................................... 9

4. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Методы Рунге-Кутта............................................................................. 12

5.  Краевые задачи для обыкновенного дифференциального

уравнения 2-го порядка...................................................................17

6.  Метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных

уравнений 2-го порядка...................................................................21 Вопросы:...........................................................................................28

Практика:..........................................................................................29

1.  Введение

3

Многие задачи, рассматриваемые в высшей математике, интересны не только сами по себе, но и своими приложениями в технике и естественных. Но естественные науки предлагают для решения математическими методами достаточно сложные задачи, которые чаще всего не могут быть решены точно, аналитически. Такие задачи решают численно – приближенно с некоторой погрешностью. В зависимости от содержания задачи выбирают предельно допустимую погрешность, при которой еще можно правильно оценить поведение решения, и находят решение с необходимой точностью.

Математика осваивает подобные технологии в течение нескольких веков, и за это время был сформирован математический аппарат численного решения алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, численного дифференцирования и интегрирования. Первые результаты в этом направлении связаны с именами Л. Эйлера, И. Ньютона, но современные численные методы были предложены совсем недавно, в конце XX века.

В вычислительной математике рассматривается не только вопрос, как решить некоторый тип задач, но и как оценить погрешность, возникающую при его решении. Насколько отличается приближенное решение от точного решения той же самой задачи? Будет ли разница между точным и приближенным решениями стремиться нулю при продолжении и уточнении вычислительного процесса, т.е. будет ли численный метод сходящимся? В технике очень часто исходные данные, используемые для решения задачи, бывают получены опытным путем, т.е. в них изначально присутствует некоторая погрешность эксперимента. Как повлияет эта погрешность начальных данных на точность конечного результата, на точность решения? Численные методы, обеспечивающие малые погрешность результата при малой ошибке в исходных данных, называется устойчивыми. Сходимость и устойчивость являются главными достоинствами вычислительной схемы, но также очень важна скорость сходимости. Для того чтобы её оценить, стараются получить конкретную зависимость погрешности результата вычислений от параметров вычислений, обычно в виде ε= M ⋅h^k , где М – некоторая постоянная, неизвестная при вычислениях, h – шаг вычислений – параметр, выбираемый исследователем самостоятельно. Тогда постоянная k называется порядком метода. Чем выше порядок k, тем легче, уменьшая шаг h добиться уменьшения погрешности.

4

2.  Численное дифференцирование. Аппроксимационные формулы.

Пусть некоторое достаточное число раз дифференцируемая функция y = f (x) задана на промежутке [a; b]. Число n – целое, n > 2. Разb − a

делим отрезок [a; b] на n равных частей длины h =      , h – шаг разn

биения. Занумеруем узловые точки x₀= a, x_n= b, x_i= a+ ih, i меняется от

0 до n. Обозначим y_i = f(x_i). В классической формуле Тейлора  f '(a)  f ''(a)   ^{2       m} f (x) = f (a) +          (x − f ) +         (x − a) +...+ Mh

                                          1!                      2!

возьмем сначала в качестве a = x_i , x = x_i+1 , x − a = h, а затем выбираем a = x_i , x = x_i−1 , x − a = −h. 

Получились две формулы

                                                    2                     3

                                 '                  '' h          ''' h                  m

          yi+1 = yi + yi ⋅h + yi   + yi ⋅ +...+ Mh                      (2.1)

                                                  2            6

                                                    2                     3

                                 '                  '' h          ''' h                  m

         yi−1 = yi − yi ⋅h + yi   − yi ⋅ +...+ Mh                      (2.2)

                                                  2            6

Константы M в этих формулах не обязаны быть одинаковыми, а кроме того, они меняются в зависимости количества учитываемых слагаемых в формуле Тейлора, но мы обозначаем их одинаково, не учитывая знака и величины. Из формулы (1) можно получить приближенное значение первой производной в точке x_i

yi+1 = yi + yi' ⋅h + Mh2 yi' ⋅h = yi+1 − yi + Mh2

            '        yi+1 − yi

          y_i =   + Mh - это аппроксимационная формула для y'_i спраh

ва,        первого            порядка           точности,         т.к.       ее         погрешность ε= Mh = Mh¹ = Mh^k , k = 1.

Эту формулу можно получить непосредственно из определения y(x + ∆x)− y(x) производной y'= lim  .

                                    ∆x→⁰                   ∆x

Заменим в определении ∆х наименьшим возможным положительным значением ∆х=h.

5

y(x + h) − y(x)

y'≈  , или для х = х_i h yⁱ⁺¹ − yⁱ

y_i '≈     , но в этом случае ничего нельзя сказать о величине h

погрешности и о порядке точности формулы.

Из формулы (2.2) точно так же получается

            '         yi − yi−1

y_i =  + Mh - это аппроксимация первой производной слеh ва, она также