Разработка алгоритма основных состояний и системы управления надежности бесстыкового пути. Расчетное прогнозирование полных отказов и показателей долговечности рельсов. Износ крестовин и сроки службы стрелочных переводов. Расчет вероятности безотказной работы элементов стрелочного перевода, страница 4

   (3.1.)

где xjH и  xjB    - соответственно максимальное значения случайной величины χ;

К – число разрядов

Например, для вариационного ряда при К = 12, = 32 тс, = 8тс.

Значения случайных величин, совпадающих с границами интервалов, можно условно отнести (для всех разрядов) к первым (в порядке расположения) или вторым разрядом.

3. По вариационному ряду в каждом разряде подсчитывается число наблюдений (частоты), а затем определяются значения частостей:

,   (3.2.)

где  - частость, выражает статистическую вероятность того, что случайная величина окажется в j-ом разряде;

fj- частота или число наблюдений в j-ом разряде;

j – номер разряда;

k – число разрядов.

4. Полученные значения разрядов, частот и частостей оформляется в виде статистического ряда, вид которого для рассматриваемой на примере простой статистической совокупности приведен в таблице 3.1.

Таблица 3.1

j

Значения промежутков в разряде xjH - xjB 

Частота fj

Частость

1

8-10,7

2

0,025

2

10,7-12,7

3

0,038

3

12,7-14,7

6

0,075

4

14,7-16,7

8

0,100

5

16,7-18,7

11

0,138

6

18,7-20,7

13

0,163

7

20,7-22,7

10

0,125

8

22,7-24,7

9

0,113

9

24,7-26,7

8

0,100

10

26,7-28,7

5

0,063

11

28,7-30,7

3

0,038

12

30,7-32

2

0,025

 Итого:

80

1,000

В таблице 3.1 и   обозначают соответственно нижнюю и верхнюю границы j-го разряда. Частость (), например, для первого разряда статистического ряда (таблица 3.1) будет равна

5. Для наглядности статистическое распределение случайной величины часто изображается в виде гистограммы, которая представляет собой графическое изображение статистического ряда и строиться следующим образом: по оси абсцисс откладываются значения интервалов разрядов (Δ xj) и на каждом из них строиться прямоугольник, площадь которого равна частости ().

Тогда высота прямоугольника (Δ уj) будет равна

  (3.3)

Соединив середины верхних сторон прямоугольников, получим многоугольник распределения случайной величины.

В качестве примера на рис. 3.1 приведены гистограмма и многоугольник распределения по данным статистического ряда (таблица 3.1).

6. По данным статистического ряда определяются числовые характеристики простой статистической совокупности:

а.  Первый начальный момент или статистическое среднее:

    (3.4)

где - среднее значение случайной величины в j-ом разряде статистического ряда

    (3.5)

Рис. 3.1.       Гистограмма и многоугольник распределения по данным статистического ряда

б.  Статистическая дисперсия

,   (3.6)

где - статистический второй начальный момент,

  (3.7.)

в.  Статистическое среднее квадратическое отклонение

г.   

  (3.8)

Вычисление числовых характеристик удобно производить, пользуясь табличной схемой, приведенной в таблице 3.2 (для рассматриваемого примера)

Таблица 3.2

j

Значения промежутков в разряде xjH - xjB 

Частота Xj

Частость

1

8-10,7

9,35

0,025

0,234

2,186

2

10,7-12,7

11,7

0,038

0,439

5,133

3

12,7-14,7

13,7

0,075

1,028

14,077

4

14,7-16,7

15,7

0,100

1,570

24,649

5

16,7-18,7

17,7

0,138

2,434

43,077

6

18,7-20,7

19,7

0,163

3,201

63,065

7

20,7-22,7

21,7

0,125

2,713

58,861

8

22,7-24,7

23,7

0,113

2,666

63,190

9

24,7-26,7

25,7

0,100

2,570

66,049

10

26,7-28,7

27,7

0,063

1,731

47,956

11

28,7-30,7

29,7

0,038

1,114

33,078

12

30,7-32

31,35

0,025

0,784

24,571

Итого:

1,000

20,4825

445,892

Из таблицы 3.2. следует, что числовые характеристики рассматриваемой простой статистической совокупности будут следующими:

3.2.  Описание алгоритма построения статистического ряда и определения его числовых характеристик

Блок – схема алгоритма приведена на рис. 3.2.

Работа алгоритма начинается с ввода в память компьютера значений числа измерений (n),  числа разрядов статистического ряда (K), любого числа (В) из статистической совокупности (блок  1), а также всех значений (χi) статистической совокупности. Затем производится отыскание среди значений статистической совокупности максимального и минимального числа (блоки 6 – 12).

Выражения для определения и имеют вид:

         (3.9)

где = - знак присваивания;

χi – i-ое значение числа статистической совокупности (i =1,2,…n).

Первоначально идентификаторами xmax и xmin  присваивается значение В (блок 6). Затем содержимое этих ячеек определяется путем последовательной подстановки в правые части выражения их предыдущих значений xmax , xmin и значения числа  χi из статистической совокупности.

Так как в математике непредусмотрено деление на нуль, то необходимо произвести проверку на равенство текущих значений и  с χi (блоки 7,8). Выбор значений xmax и xmin     произойдет после пересчета по указанным выражениям всех значений χi статистической совокупности.

В блоках 13 – 23 производится построение j (j=1,2,….К) разрядов статистического ряда и подсчет в них значений частот  fj .