Численное интегрирование и решение уравнений и систем в MatLab. Графическая интерпретация решения уравнений и систем

Страницы работы

45 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Численное интегрирование и решение уравнений и систем в MatLab

18.02.2016

1

План лекции

  • Численное интегрирование
  • Решение уравнений
  • Решение систем уравнений
  • Графическая интерпретация решения уравнений и систем

18.02.2016

2

Численное интегрирование

  • Одной из распространенных задач численного анализа является вычисление определенных интегралов.
  • В MatLab для этой цели используются различные методы, реализованные в следующих стандартных функциях.

18.02.2016

3

Численное интегрирование

  • trapz - вычисление интеграла методом трапеций;
  • quad - вычисление интеграла методом Симпсона;

18.02.2016

4

Численное интегрирование

  • quad8 - вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса;
  • dblquad- вычисление интеграла по областям.

18.02.2016

5

Численное интегрирование

  • Подынтегральная функция может быть описана несколькими способами:
  • в обычном виде y=f(x);
  • в форме символьной строки;
  • в виде строкового объекта;
  • с использование М-файла.

18.02.2016

6

  • Функция trapz имеет следующий общий вид:
  • trapz( X, Y),

18.02.2016

7

  • где
  • Х – переменная, указывающая пределы интегрирования (диапазон, вектор);
  • Y – подынтегральная функция.

18.02.2016

8

  • Например, нужно вычислить интеграл функции y= sin(x) в пределах от 1 до 2.
  • >> x=1:0.1:2; y=sin(x);
  • >> trapz(x,y)
  • ans =
  • 0.9557

18.02.2016

9

  • Функция quad имеет следующий общий вид:
  • quad( F, A, B, TOL),
  • где
  • F – имя подынтегральной функции f(x);
  • A, B – пределы интегрирования;
  • TOL – абсолютная погрешность вычисления (необязательный параметр)

18.02.2016

10

  • Имя функции может быть задано несколькими способами:
  • выбором из списка простейших функций со знаком @, например, @sin;
  • описанием функции как строки символов;

18.02.2016

11

  • описанием функции как строкового объекта с помощью стандартной функции
  • inline (S),
  • где S – символьное представление функции f(x).

18.02.2016

12

  • >> quad('2*x+sin(x)',0,3)
  • ans =
  • 10.9900
  • >>y=inline('2*x+sin(x)');
  • >> quad(y,0,3)
  • ans =
  • 10.9900

18.02.2016

13

  • >> quad(@cos,0,3)
  • ans =
  • 0.1411

18.02.2016

14

  • Пример 1. Вычислить определенный интеграл методом трапеций и методом Симпсона, сравнить полученные результаты по точности, дать графическую интерпретацию результатов вычислений

18.02.2016

15

%Метод трапеций x=0:0.01:6; y=-2*x+sin(x); z=trapz(x,y) %Метод Симпсона

18.02.2016

16

y1=inline('-2*x+sin(x)'); z1=quad(y1,0,6) %Графическое изображение plot(x,y) grid on

18.02.2016

17

Решение уравнений

  • Для решения уравнения Y(x)=0, где Y(x) является полиномом, используется стандартная функция roots следующего общего вида:
  • roots(a),

18.02.2016

18

Решение уравнений

  • где
  • а – вектор коэффициентов перед неизвестными полинома размерностью n+1(n – порядок полинома).
  • Результатом работы этой функции будет вектор корней полинома размерностью n.

18.02.2016

19

Решение уравнений

Решение уравнения >> v=[3 1 -10 -8]; >> roots(v) ans = 2.0000 -1.3333 -1.0000

18.02.2016

20

Решение уравнений

Решение уравнения >> v=[3 1 -10 8]; >> roots(v) ans = -2.2936 0.9801 + 0.4495i 0.9801 - 0.4495i

18.02.2016

21

Решение уравнений

Для решения нелинейного уравнения f(x)=0 используется стандартная функция fzero следующего упрощенного общего вида:

18.02.2016

22

Решение уравнений

fzero(f, x0), где f – имя функции f(x) исходного уравнения, х0 – начальное приближение корня.

18.02.2016

23

Решение уравнения cos(x) – 0.1x=0 >>fzero('cos(x)-0.1*x',1) ans = 1.4276

18.02.2016

24

Решение уравнения sin(x)-0.5=0 при х0=2 >> x0=2; y=inline('sin(x)-0.5'); fzero(y,x0) ans = 2.6180

18.02.2016

25

Решение систем уравнений

  • Для решения систем линейных уравнений в Matlab существует нескольео способов:
  • применение операции левого матричного деления;
  • использование обратной матрицы.

18.02.2016

26

Если задана система линейных алгебраических уравнений вида: AX=B, где

18.02.2016

27

А – матрица коэффициентов перед неизвестными системы, В – вектор свободных членов, то решение системы может быть найдено в виде: Х=А \ B

18.02.2016

28

То же самое решение может быть получено с помощью обратной матрицы, например: X=inv(A)*B

18.02.2016

29

  • Решить систему линейных уравнений 3х+5y=2
  • 6x -8y=-3

18.02.2016

30

>>A=[3 5;6 -8]; B=[2 ;-3]; >>X=inv(A)*B X = 0.0185 0.3889

18.02.2016

31

  • Решить систему линейных уравнений 3a+7b=-13
  • 5a +b=1

18.02.2016

32

>> A=[3 7;5 1]; B=[13; 1]; >>X=A\B X = -0.1875 1.9375

18.02.2016

33

Графическая интерпретация решения уравнений и систем

  • Для того, чтобы доказать графически, что корни уравнения или системы найдены правильно, нужно:
  • построить график функции левой части уравнения y(x) в диапазоне найденных корней уравнения;

18.02.2016

34

Графическая интерпретация решения уравнений и систем

  • отметить в виде точек корни уравнения;
  • убедиться, что отмеченные точки являются точками пересечения графика функции с осью Х.

18.02.2016

35

Графическая интерпретация решения уравнений и систем

  • Пример 3. Решить уравнение, доказать графически, что корни найдены верно

Похожие материалы

Информация о работе