Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad. Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

4. Решение дифференциальных уравнений  и систем  в

MathCad

4.1. Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Для решения  дифференциальных уравнений   с начальными условиями  система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции.

rkfixed(y, x1, x2, p, D)

Аргументы функции:

y – вектор начальных условий из k элементов (k – количество уравнений в системе);

x1 и x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D – вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции  является  матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

Стандартная функция Odesolve имеет следующий общий вид:

Odesolve(x, n) или

Odesolve(v, x, n)

Аргументы функции следующие:

·  n – правая граница интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения;

·  х – переменная, относительно которой ищется решение ОДУ;

·  v – вектор имен функций при решении систем дифференциальных уравнений.

Левая граница интервала определяется из начальных условий.

В результате работы Odesolve формируется функция, являющаяся решением дифференциального уравнения относительно аргумента х. При решении ОДУ и систем ОДУ с помощью функции Odesolve необходимо организовать решающий блок по аналогии с решающим блоком для решения систем алгебраических уравнений.

Последовательность решения такова:

·  задается ключевое слово Given (начало решающего блока);

·  задается вид дифференциального уравнения, причем знак производной можно задать с помощью клавиш Ctrl-F7, а знак равенства – с помощью кнопки логического равенства на палитре знаков логических операций;

·  задаются начальные условия, для чего используется знак логического равенства;

·  задается функция Odesolve с параметрами, формируется результирующая функция.

Все вычислительные блоки, расположенные между зарезервированными словами Given и Odesolve, называются решающим блоком для решения дифференциальных уравнений и систем.

На рис. 4.1 приведен конкретный пример решения дифференциального уравнения первого порядка в MathCAD с помощью различных стандартных функций. Ниже приведено краткое описание этого примера.

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y1, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixedуказывается имя вектора Y,  границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D.

Рис. 4.1.  Пример решения дифференциального уравнения

В результате получается матрица z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

При решении с помощью функции Odesolve создается решающий блок, в котором описывается само уравнение и начальное условие для его решения в естественном математическом виде. Затем формируется результирующая функция y (она задается только своим именем) путем обращения к функции Odesolve с параметрами х – переменная, относительно которой ищется решение ОДУ, 2 – конечное значение интервала изменения этой переменной. Результирующее значение функции у(х) представлено в виде графика, причем х необходимо описать как дискретную переменную.

4.2 Решение систем дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений можно решать как с помощью функцииrkfixed так и с помощью Odesolve. При решении системы дифференциальных уравнений с помощью функции

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
MathCad
Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
310 Kb
Скачали:
0